Inhaltsverzeichnis
1  Einige Grundbegriffe der Mathematik
 1.1  Einige Bezeichnungen aus der Aussagenlogik
  1.1.1  Mathematische Aussagen.
  1.1.2  Logische Gesetze.
  1.1.3  Der All- und der Existenzquantor.
 1.2  Der Begriff der Menge
  1.2.1  Der naive Mengenbegriff .
  1.2.2  Operationen mit Mengen.
  1.2.3  Zur Widersprüchlichkeit des naiven Mengenbegriffes.
 1.3  Relationen und Äquivalenzquotienten
  1.3.1  Der Begriff der Relation.
  1.3.2  Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen.
  1.3.3  Äquivalenzquotienten und Zerlegungen von Mengen.
 1.4  Abbildungen und Funktionen
  1.4.1  Funktionen als Spezialfall von Relationen.
  1.4.2  Kompositionen von Relationen und Funktionen.
 1.5  Geordnete Mengen
 1.6  Die natürlichen Zahlen
  1.6.1  Axiomensystem von Peano
  1.6.2  Einführung von Addition und Multiplikation auf $\mathbb{N}$
  1.6.3  Einführung von Vergleichsrelationen auf $\mathbb{N}$
  1.6.4  Herleitung elementarer Eigenschaften von Addition und Multiplikation
  1.6.5  Eine Eigenschaft der Vergleichsrelationen auf den natürlichen Zahlen.
  1.6.6  Die ganzen und die rationalen Zahlen.
 1.7  Die reellen Zahlen
  1.7.1  Der Absolutbetrag rationaler Zahlen.
  1.7.2  Folgen.
  1.7.3  Der Grenzwert rationaler Folgen.
  1.7.4  Fundamentalfolgen rationaler Zahlen.
  1.7.5  Die reellen Zahlen.
 1.8  Operationen auf den reellen Zahlen
  1.8.1  Die Addition der reellen Zahlen.
  1.8.2  Die Multiplikation der reellen Zahlen.
  1.8.3  Die Vergleichsrelationen auf den reellen Zahlen
 1.9  Das Axiomensystem der reellen Zahlen
  1.9.1  Die algebraische Struktur: $ℝ$ ist ein Körper.
  1.9.2  Die Ordnungsstruktur: $ℝ$ ist ein vollständig geordneter Körper.
  1.9.3  Die topologische Struktur: Die Menge $ℝ$ genügt dem Intervallschachtelungsaxiom (Vollständigkeitsaxiom).
  1.9.4  Das Axiom von Eudoxus: $ℝ$ ist archimedisch geordnet.
  1.9.5  Zur Beziehung zwischen $\mathbb{Q}$ und $ℝ$.
  1.9.6  Der Absolutbetrag einer reellen Zahl.
 1.10  Die Kardinalzahlen. Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit von Mengen.
  1.10.1  Die “Grösse” von Mengen.
  1.10.2  Die Kardinalzahlen.
  1.10.3  Vergleichsrelationen zwischen den Kardinalzahlen
  1.10.4  Was ist endlich und unendlich?
  1.10.5  Finite Kardinalzahlen.
  1.10.6  Transfinite Kardinalzahlen. Abzählbare Mengen.
  1.10.7  Transfinite Kardinalzahlen. überabzählbare Mengen.
  1.10.8  Die Kontinuumshypothese.
 1.11  Die komplexen Zahlen
  1.11.1  Der Körper der komplexen Zahlen.
  1.11.2  Reelle und imaginäre Zahlen.
  1.11.3  Wichtige Eigenschaften der komplexen Zahlen.
  1.11.4  Die Multiplikation komplexer Zahlen in den Polarkoordinaten.
  1.11.5  Einige elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen.
 1.12  Zur Faktorisierung von Polynomen
  1.12.1  Polynome und der Hauptsatz der Algebra.
  1.12.2  Zur Faktorisierung von Polynomen mit komplexen Koeffizienten.
  1.12.3  Zur Faktorisierung von Polynomen mit reellen Koeffizienten.
2  Zu den Strukturen der Räume $ℝ$, $ℂ$, ${ℝ}^n$ sowie ${ℂ}^n$.
 2.1  Grenzwerte in $ℝ$
  2.1.1  Intervalle und $\epsilon$-Umgebungen.
  2.1.2  Grenzwerte reeller Folgen.
  2.1.3  Beschränkte Mengen in $ℝ$.
  2.1.4  Das Rechnen mit reellen Grenzwerten.
  2.1.5  Der Übergang zum Grenzwert in Ungleichungen.
  2.1.6  Divergenz und bestimmte Divergenz.
 2.2  $ℝ$ als Metrischer Raum
  2.2.1  Grundlegende Definitionen.
  2.2.2  Fundamentalfolgen und Vollständigkeit.
  2.2.3  Der Beweis des Satzes von Cauchy - Vorbereitungen.
  2.2.4  Der Beweis des Satzes von Cauchy - Drei Schritte.
  2.2.5  Die Existenz von Grenzwerten beschränkter monotoner reeller Folgen: Eine Anwendung des Satzes von Cauchy.
 2.3  Maximum, Minimum, Supremum, Infimum
  2.3.1  Maximum und Minimum.
  2.3.2  Supremum und Infimum.
 2.4  Die Eulersche Zahl $e$
  2.4.1  Definition und Formulierung der Eigenschaften.
  2.4.2  Der Beweis von Satz 2.4.1.
  2.4.3  Der Beweis von Satz 2.4.3.
  2.4.4  Der Beweis von Satz 2.4.4.
  2.4.5  Skizze des Beweises von Satz 2.4.5.
 2.5  Einige wichtige Grenzwerte.
 2.6  Der Euklidische Raum ${ℝ}^n$
  2.6.1  Die Struktur des reellen linearen Vektorraumes.
  2.6.2  Die Euklidsche Struktur - das reelle Skalarprodukt.
  2.6.3  Die Struktur des reellen normierten Raumes.
 2.7  Der Raum ${ℂ}^n$
  2.7.1  Die Struktur des komplexen linearen Vektorraumes.
  2.7.2  Die Hermitsche Struktur - das komplexe Skalarprodukt.
  2.7.3  Die Struktur des komplexen normierten Raumes.
  2.7.4  Ein Vergleich der Strukturen von ${ℂ}^n$ und ${ℝ}^{2n}$.
 2.8  Konvergenz in ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$
  2.8.1  Grundlegende Definitionen.
  2.8.2  Allgemeine Eigenschaften des Konvergenz in ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$.
  2.8.3  Konvergenz in $K^n$ und Konvergenz der Komponenten.
  2.8.4  Die Vollständigkeit von ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$.
 2.9  Zur Topologie in ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$. Offene und abgeschlossene Mengen
  2.9.1  Die Häufungspunkte, das Innere, das Äussere und der Rand einer Menge.
  2.9.2  Einige wichtige Eigenschaften der Häufungspunkten sowie des Inneren, des Äusseren und des Randes einer Menge.
  2.9.3  Offene und abgeschlossene Mengen.
  2.9.4  Beliebige Familien offener und abgeschlossener Mengen.
  2.9.5  Endliche Familien offener und abgeschlossener Mengen.
  2.9.6  ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$ als topologischer Raum.
  2.9.7  Eine Zusammenstellung der Hierarchie der Strukturen.
  2.9.8  Der Abschluss einer Menge.
 2.10  Grenzwerte von Funktionen
  2.10.1  Die $\epsilon$-$\delta$-Definition und die Folgendefinition des Grenzwertes einer Funktion.
  2.10.2  Grenzwerte vektorwertiger Funktionen.
  2.10.3  Rechtsseitige und Linksseitige Grenzwerte.
  2.10.4  Zur Existenz von Grenzwerten monotoner Funktionen.
  2.10.5  Grenzwerte im Unendlichen.
 2.11  Die Exponentialfunktion und die Eulersche Formel
  2.11.1  Zur Definition der Exponentialfunktion für komplexe Argumente.
  2.11.2  Die Eigenschaften der Exponentialfunktion - Multiplikativität.
  2.11.3  Die Eigenschaften der Exponentialfunktion - Das Verhalten nahe $z=0$.
  2.11.4  Der Betrag und das Argument der Exponentialfunktion $exp\left(z\right)$.
  2.11.5  Die Eulersche Formel und die analytische Definition der Winkelfunktionen.
 2.12  Stetige Funktionen
  2.12.1  Grundlegende Definitionen.
  2.12.2  Kompositionen stetiger Funktionen.
  2.12.3  Stetige Funktionen mit Werten in $K^n$.
  2.12.4  Wichtige Beispiele stetiger Funktionen.
  2.12.5  Klassifikation der Unstetigkeiten von Funktionen einer reellen Variablen
  2.12.6  Der Satz von Bolzano und Cauchy.
  2.12.7  Anwendungen des Satzes von Bolzano und Cauchy.
  2.12.8  Zur Stetigkeit der Umkehrfunktion.
  2.12.9  Dichte Mengen und Fortsetzungen von stetigen Funktionen.
 2.13  Kompakte Mengen in ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$
  2.13.1  Zur Definition kompakter Mengen.
  2.13.2  Das Kompaktheitskriterium von Bolzano.
  2.13.3  Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz von Weierstrass.
 2.14  Gleichmässige Stetigkeit. Der Satz von Kantor.
 2.15  Der Raum $C$ der stetigen Funktionen
  2.15.1  $C\left(X,K\right)$ als linearer Vektorraum.
  2.15.2  $C\left(X,K\right)$ als normierter Raum.
  2.15.3  Konvergenz im Raum $C\left(X,K\right)$.
  2.15.4  Die Vollständigkeit von $C\left(X,K\right)$.
3  Die Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen
 3.1  Zur Definition der Ableitung
  3.1.1  Die Ableitung einer Funktion.
  3.1.2  Ableitungen in reellen und komplexen Variablen
  Diskussion der reellen und der komplexen Abbleitung.
  3.1.3  Eine geometrische Interpretation der Ableitung.
 3.2  Die Landau-Symbole o und O.
  3.2.1  Die Definition der Landau-Symbole.
  3.2.2  Grundlegende Eigenschaften der Landau-Symbole.
  3.2.3  Einige Beispiele für die Symbole $o$ und $O$.
  3.2.4  Einige Anwendungen der Landau-Symbolik.
 3.3  Das Rechnen mit Ableitungen
  3.3.1  Linearität, Produkt- und Kettenregel.
  3.3.2  Die Quotientenregel.
  3.3.3  Die Ableitung impliziter Funktionen.
 3.4  Die Ableitungen einiger wichtiger Funktionen
  3.4.1  Polynome und negativ ganzzahlige Potenzen von $z$.
  3.4.2  Die Exponential- und die Winkelfunktionen.
  3.4.3  Zur Ableitung der Logarithmusfunktion.
  3.4.4  Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
 3.5  Die Sätze von Fermat und Rolle. Die Formeln von Cauchy und Lagandre.
  3.5.1  Der Satz von Fermat.
  3.5.2  Der Satz von Rolle.
  3.5.3  Die Formel von Cauchy.
  3.5.4  Die Formel von Lagrange.
 3.6  Der Hauptsatz der Differentialrechnung
  3.6.1  Formulierung des Satzes.
  3.6.2  Beweis - Schritt 1.
  3.6.3  Beweis - Schritt 2.
  3.6.4  Beweis - Schritt 3.
  3.6.5  Beweis - Schritt 4.
 3.7  Ableitungen höherer Ordnung. Die Formel von Leibniz.
  3.7.1  Ableitungen höherer Ordnung.
  3.7.2  Der Satz von Leibniz.
 3.8  Der Satz von Taylor
 3.9  Das Differential einer Funktion
  3.9.1  Das Differential erster Ordnung.
  3.9.2  Differentiale höherer Ordnung.
  3.9.3  Die Invarianz des Differentials erster Ordnung.
 3.10  Monotonie und Extremwerte von Funktionen
  3.10.1  Konstante Funktionen.
  3.10.2  Monotone Funktionen.
  3.10.3  Zu den Extremwerten einer Funktion.
 3.11  Konvexe und konkave Funktionen
  3.11.1  Definition und äquivalente Beschreibungen.
  3.11.2  Differenzierbare konkave und konvexe Funktionen.
  3.11.3  Wendepunkte von Funktionen.
 3.12  Die Auflösung von Unbestimmtheiten vom Typ $0∕0$ und $\infty ∕\infty$
  3.12.1  Unbestimmtheiten vom Typ $0∕0$.
  3.12.2  Unbestimmtheiten vom Typ $\infty ∕\infty$.
 3.13  Weitere Anwendungen zur Kurvendiskussion
  3.13.1  Die Normale und die Tangente einer Kurve.
  3.13.2  Die Differentiation parametrischer Darstellungen von Kurven.
  3.13.3  Geradlinige Asymptoten.
 3.14  Der Satz von Darboux
 3.15  Nullstellenberechnung
  3.15.1  Die Regula falsi.
  3.15.2  Das Newtonsche Verfahren.
4  Zur Integralrechnung in einer Variablen
 4.1  Die Definition des Riemannschen Integralbegriffs. Integrierbare Funktionen.
  4.1.1  Grundlegende Definitionen.
  4.1.2  Das Stetigkeitsmodul und Riemann-Integrierbarkeit.
  4.1.3  Die Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen.
  4.1.4  Obere und untere Darboux-Summen.
  4.1.5  Zur Struktur des Raumes $R\left[a,b\right]$.
  4.1.6  Das Lebesgue-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion.
 4.2  Die Linearität, Additivität und Monotonie des Riemann-Integrals
  4.2.1  Die Linearität des Riemann-Integrals.
  4.2.2  Die Additivität des Riemann-Integrals bezüglich des Integrationsbereiches.
  4.2.3  Die Monotonie des Riemann-Integrals.
 4.3  Die Formel von Newton und Leibniz. Partielle Integration. Stammfunktionen
  4.3.1  Die Formel von Newton und Leibniz.
  4.3.2  Die Stammfunktion und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
  4.3.3  Zur Existenz von Stammfunktionen.
 4.4  Zur Integration rationaler Funktionen
  4.4.1  Die Division von Polynomen mit Rest.
  4.4.2  Schriftliches Dividieren von Polynomen.
  4.4.3  Die Zerlegung des Restterms.
  4.4.4  Zur Berechnung der Koeffizienten $A_{jk}$.
  4.4.5  Die Formel von Ostrogradskij.
 4.5  Die Mittelwertsätze der Integralrechnung.
  4.5.1  Zum ersten Mittelwertsatz.
  4.5.2  Zum zweiten Mittelwertsatz.
 4.6  Partielle Integration. Substitution der Integrationsvariablen
  4.6.1  Die partielle Integration.
  4.6.2  Die Substitution der Integrationsvariablen.
 4.7  Das Restglied in der Taylorschen Formel
  4.7.1  Formulierung und Beweis.
  4.7.2  Modifikationen der Restgliedformel.
  4.7.3  Eine Anwendung.
 4.8  Die Lagrangesche Interpolationsformel und Verfahren der numerischen Integration
  4.8.1  Die Lagrangesche Interpolationsformel.
  4.8.2  Die Rechteckformel: Stückweise Approximation mit $P_0$.
  4.8.3  Die Trapezformel: Stückweise Approximation mit $P_1$.
  4.8.4  Die Simpsonsche Regel: Stückweise Approximation mit $P_2$.
 4.9  Einige Anwendungen der Differential- und Integralrechnung.
Teil I: Länge und Krümmung einer Kurve.
  4.9.1  Der Begriff der Jordanschen Kurve.
  4.9.2  Die Bogenlänge einer Jordanschen Kurve.
  4.9.3  Die Parametrisierung einer Kurve durch ihre Bogenlänge.
  4.9.4  Der Tangential- und der Krümmungsvektor.
  4.9.5  Zur Berechnung des Krümmungsvektors.
  4.9.6  Die Krümmung einer Kurve in ${ℝ}^3$ und ${ℝ}^2$.
 4.10  Einige Anwendung der Differential- und Integralrechnung.
Teil II: Flächeninhalt, Volumen, Oberflächeninhalt und Schwerpunkt.
  4.10.1  Der Flächeninhalt ebener Figuren.
  4.10.2  Das Volumen rotationssymmetrischer Körper
  4.10.3  Der Oberflächeninhalt rotationssymmetrischer Körper.
  4.10.4  Der Schwerpunkt einer Kurve.
  4.10.5  Der Schwerpunkt einer Fläche.
 4.11  Ein analytischer Beweis des Hauptsatzes der Algebra
  4.11.1  Der Beweis des Hauptsatzes der Algebra.
  4.11.2  Der Beweis von Lemma 4.11.1.
  4.11.3  Der Beweis von Lemma 4.11.2.
Literaturverzeichnis