Analysis 2

  Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1.  Reihen und uneigentliche Integrale
1.1.  Grundlegende Definitionen
   1.1.1.  Reihen über

ℕ

und uneigentlich Integrale auf

[0, + \infty [

.
1.1.2. Reihen über

ℤ

und uneigentliche Integrale auf

ℝ

.
   1.1.3.  Einige Beispiele.
   1.1.4.  Uneigentliche Integrale auf endlichem Integrationsbereich.
   1.1.5.  Der Cauchysche Hauptwert.
1.2.  Wichtige Eigenschaften von Reihen und uneigentlichen Integralen
   1.2.1.  Das Cauchy-Kriterium.
   1.2.2.  Eine hinreichende Bedingung.
   1.2.3.  Die Linearität von Reihen und uneigentlichen Integralen.
1.3.  Der Umordnungssatz. Summierung über allgemeine Indexmengen. Doppelreihen.
   1.3.1.  Die Monotonität.
   1.3.2.  Der Umordnungssatz.
   1.3.3.  Der Riemannsche Umordnungssatz.
   1.3.4.  Allgemeine Reihen mit nichtnegativen Gliedern
   1.3.5.  Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.
   1.3.6.  Doppelreihen.
   1.3.7.  Multiplikation von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.
1.4.  Konvergenzkriterien für Reihen nichtnegativer Glieder und für uneigentliche Integrale nichtnegativer Funktionen
   1.4.1.  Das Vergleichskriterium.
   1.4.2.  Das Wurzelkriterium von Cauchy.
   1.4.3.  Das Quotientenkriterium von d’Alambert.
   1.4.4.  Das Integralkriterium von Cauchy.
   1.4.5.  Es gibt keine universelle Vergleichsfunktion.
   1.4.6.  Das Raabesche Kriterium
   1.4.7.  Das Kummersche Kriterium.
1.5.  Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern in Limesform .
   1.5.1.  Der obere und der untere Grenzwert.
   1.5.2.  Das Vergleichskriterium in Limesform.
   1.5.3.  Das Wurzelkriterium in Limesform.
   1.5.4.  Das Quotientenkriterium in Limesform.
1.6.  Absolute und bedingte Konvergenz
   1.6.1.  Definitionen.
   1.6.2.  Zum Zusammenhang zwischen absoluter und bedingter Konvergenz.
   1.6.3.  Weitere elementare Kriterien für absolute Konvergenz.
   1.6.4.  Der Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen.
1.7.  Konvergenzkriterien für im Allgemeinen nicht absolut konvergente Folgen
   1.7.1.  Die Abelsche partielle Summation.
   1.7.2.  Das Abelsche Kriterium.
   1.7.3.  Das Kriterium von Dirichlet.
   1.7.4.  Das Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen
   1.7.5.  Das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale.
1.8.  Unendliche Produkte
   1.8.1.  Definition.
   1.8.2.  Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten.
1.9.  Die Summierung divergenter Reihen
   1.9.1.  Verallgemeinerte Summationsmethoden.
   1.9.2.  Die Potenzreihenmethode von Poisson und Abel.
   1.9.3.  Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro.
Kapitel 2.  Funktionenfolgen und -reihen. Parameterabhängige Integrale.
2.1.  Gleichmäßigkeit. Gleichmäßige Konvergenz.
   2.1.1.  Das Prinzip der Gleichmäßigkeit.
   2.1.2.  Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.
   2.1.3.  Ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für gleichmäßigen Konvergenz.
   2.1.4.  Gleichmäßig stetige Funktionen.
   2.1.5.  Weitere Definitionen.
2.2.  Das Vertauschen von Grenzwerten
   2.2.1.  Problemstellung.
   2.2.2.  Der Satz über das Vertauschen von Grenzwerten.
2.3.  Zur Stetigkeit der Grenzfunktion von Funktionenfolgen. Das Vertauschen der Grenzwerte

{lim}_{n \to \infty}

und

{lim}_{x \to x^{*}}

.
2.3.1. Das Vertauschen der Grenzwerte

{lim}_{n \to \infty}

und

{lim}_{x \to x_{0}}

.
2.3.2. Zur Stetigkeit der Grenzfunktion.
2.3.3. Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von

C (X, K)

.
   2.3.4.  Funktionenreihen und Grenzwerte.
   2.3.5.  Zur Stetigkeit von Funktionenreihen.
   2.3.6.  Eine Anwendung.
2.4.  Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Variablen. Das Vertauschen von

{lim}_{x \to x^{*}}

und

{lim}_{y \to y^{*}} .

2.5.  Das Vertauschen von Grenzwert und Integral
   2.5.1.  Zur Integration von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen.
   2.5.2.  Zur Integration von Funktionenreihen.
   2.5.3.  Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert

{lim}_{x \to x^{*}}

.
   2.5.4.  Das kartesische Produkt metrischer Räume.
   2.5.5.  Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen.
2.6.  Zum Vertauschen von Grenzwert und Ableitung
   2.6.1.  Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.
   2.6.2.  Die Differentation von Funktionenreihen.
   2.6.3.  Das Vertauschen von Ableitung und

{lim}_{y \to y^{*}}

.
2.7.  Differenzieren und Integrieren von parameterabhängigen Integralen
   2.7.1.  Zur Differentation parameterabhängiger Integrale.
   2.7.2.  Die Integration parameterabhängiger Integrale.
2.8.  Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Integralen mit parameterabhängigen Integrationsgrenzen
   2.8.1.  Zur Formulierung des Problems.
   2.8.2.  Zur Stetigkeit.
   2.8.3.  Zur Differenzierbarkeit.
2.9.  Zum Vertauschen von Grenzwerten mit uneigentlichen Integralen
   2.9.1.  Zur Konvergenz von Folgen uneigentlicher Intergrale.
   2.9.2.  Reihen uneigentlicher Integrale.
   2.9.3.  Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Stetigkeit.
   2.9.4.  Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Differenzierbarkeit bezüglich des Parameters.
   2.9.5.  Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Integration bezüglich des Parameters.
2.10.  Kriterien zur gleichmäßigen Konvergenz
   2.10.1.  Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Folgen.
   2.10.2.  Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Reihen.
   2.10.3.  Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.
   2.10.4.  Das Majorantenkriterium von Weierstrass.
2.11.  Potenzreihen
   2.11.1.  Definition des Konvergenzkreises und der Konvergenzradiuses.
   2.11.2.  Der Satz von Cauchy und Hadamard.
   2.11.3.  Absolute und gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen.
   2.11.4.  Zur Differentation von Potenzreihen. Reelle Differenzierbarkeit.
   2.11.5.  Zur Differentation von Potenzreihen. Komplexe Differenzierbarkeit.
   2.11.6.  Die Taylorreihe.
2.12.  Die Eulerschen Integrale
   2.12.1.  Die Betafunktion.
   2.12.2.  Wichtige Eigenschaften der Betafunktion.
   2.12.3.  Die Gammafunktion.
   2.12.4.  Der Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gammafunktion.
   2.12.5.  Der Ergänzungssatz.
   2.12.6.  Der Verdoppelungssatz von Legendre.
2.13.  Der Satz von Weierstrass und Stone
   2.13.1.  Die Formulierung des Satzes.
   2.13.2.  Zum Beweis von Satz 2.13.1.
Kapitel 3.  Zur Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
3.1.  Endlich- und Unendlichdimensionale Vektorräume
   3.1.1.  Normierte Vektorräume.
   3.1.2.  Zur Dimension normierter Vektorräume.
   3.1.3.  Zur Äquivalenz von Normen im Fall von endlichen und unendlich vielen Dimensionen.
   3.1.4.  Kompaktheit in endlich- und unendlichdimensionalen Räumen.
3.2.  Der Raum der stetigen linearen Operatoren
   3.2.1.  Lineare Operatoren.
   3.2.2.  Zur Stetigkeit linearer Operatoren.
   3.2.3.  Beschränkte lineare Operatoren.
   3.2.4.  Beispiele.
   3.2.5.  Der Raum der stetigen linearen Operatoren.
   3.2.6.  Kompositionen linearer stetiger Operatoren.
3.3.  Die Frechet-Ableitung
   3.3.1.  Die Definition der Frechet-Ableitung.
   3.3.2.  Wichtige Eigenschaften der Frechet-Ableitung.
   3.3.3.  Beispiele.
3.4.  Die Gateaux-Ableitung
   3.4.1.  Die Richtungsableitung.
   3.4.2.  Zum Zusammenhang zwischen Frechet- und Richtungsableitung.
   3.4.3.  Die schwache Ableitung.
   3.4.4.  Eine hinreichende Bedingung zur Existenz der Frechet- Ableitung.
3.5.  Der Hauptsatz der Differentialrechnung
   3.5.1.  Das Lemma von Hahn und Banach.
   3.5.2.  Der Hauptsatz der Differentialrechnung.
   3.5.3.  Der Beweis von Satz 3.4.6.
   3.5.4.  Der Beweis von Satz 3.5.3.
   3.5.5.  Zwei Eigenschaften der Frechet-Ableitung
3.6.  Die schwache und die Frechet-Ableitung für Funktionen zwischen endlichdimensionalen Räumen
3.7.  Höhere Ableitungen
3.8.  Die Taylor’sche Formel
   3.8.1.  Zum Begriff des Differentials
   3.8.2.  Invarianz des ERSTEN Differentials
3.9.  Der Fixpunktsatz von Banach
3.10.  Der Satz über implizite Funktionen
3.11.  Koordinatentransformation
3.12.  Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher
3.13.  Funktionen von konstantem Rang, Mannigfaltigkeiten
3.14.  Extremwerte unter Nebenbedingungen
3.15.  Methode der Lagrange-Faktoren für Extrema unter Nebenbedingungen