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Wichtige Beispiele stetiger Funktionen.

Beispiel 2.12.4.1   Die Funktion % latex2html id marker 54318
$ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} $, $ f(z)=z $ ist stetig in % latex2html id marker 54322
$ \mathbb{C} $, wie sofort aus Definition 2.12.1.1 folgt. Nach Satz 2.12.3.1 ist dann auch jedes Polynom $ P_{n}(z) $ stetig in % latex2html id marker 54326
$ \mathbb{C} $.

 

Beispiel 2.12.4.2   Die Funktion % latex2html id marker 54334
$ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} $, $ f(z)=\overline{z} $ ist stetig in % latex2html id marker 54338
$ \mathbb{C} $. Nach Satz 2.12.3.1 und Beispiel 2.12.4.1 ist dann auch $ \vert z\vert^{2}=z\overline{z} $ ist stetig in % latex2html id marker 54342
$ \mathbb{C} $.

 

Beispiel 2.12.4.3   Die Norm % latex2html id marker 54350
$ \parallel \cdot \parallel :\mathbb{K}^{n}\to \mathbb{R} $ auf % latex2html id marker 54352
$ \mathbb{K}^{n} $ ist nach der Ungleichung

% latex2html id marker 54354
$\displaystyle \vert\parallel x\parallel -\parallel y\parallel \vert\leq \parallel x-y\parallel ,\quad x,y\in \mathbb{K}^{n},$

(siehe Aufgabe 2.8.3.3) eine stetige Funktion in % latex2html id marker 54356
$ \mathbb{K}^{n} $.

Satz 2.12.4.4   Die Funktion % latex2html id marker 54364
$ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} $, $ f(z)=e^{z} $ ist stetig in % latex2html id marker 54368
$ \mathbb{C} $.

$ \blacktriangleright $ Wir zeigen die Stetigkeit von $ f(z)=e^{z} $ in einem beliebigen Punkt % latex2html id marker 54374
$ z_{0}\in \mathbb{C} $, d.h. $ \lim _{z\to z_{0}}e^{z}=e^{z_{0}} $. Es gilt

$\displaystyle \vert e^{z}-e^{z_{0}}\vert=\vert e^{z_{0}}(e^{z}e^{-z_{0}}-1)\vert=\vert e^{z_{0}}\vert\vert e^{z-z_{0}}-1\vert.$

Erfüllt $ \xi =z-z_{0} $ die Ungleichung $ \vert\xi \vert<1 $, so gilt nach (2.11.3.1) und der Dreiecksungleichung

$\displaystyle \vert e^{z}-e^{z_{0}}\vert\leq \vert e^{z_{0}}\vert\vert e^{\xi }-1-\xi +\xi \vert\leq \vert e^{z_{0}}\vert(\vert\xi \vert^{2}+\vert\xi \vert).$

Für $ z\to z_{0} $, d.h. $ \xi \to 0 $ folgt $ \vert e^{z}-e^{z_{0}}\vert\to 0 $ und damit $ e^{z}\to e^{z_{0}} $. $ \blacktriangleleft $

Korollar 2.12.4.5   Nach den Sätzen 2.12.2.1 und 2.12.3.1 sind $ e^{iz} $, $ e^{-iz} $ und damit auch die Funktionen $ \sin (z) $ und $ \cos (z) $ stetig in % latex2html id marker 54410
$ \mathbb{C} $.


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2003-06-05