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Der Satz von Darboux

Für eine in $ ]a,b[ $ differenzierbare Funktion % latex2html id marker 60667
$ f:]a,b[\to \mathbb{R} $ ist deren Ableitung ebenfalls eine Funktion % latex2html id marker 60669
$ f':]a,b[\to \mathbb{R} $. Wir stellen uns nun die Frage, ob man Aussagen über die Eigenschaften von $ f' $ treffen kann, ohne weitere Voraussetzungen (außer der Differenzierbarkeit) an $ f $ zu stellen.

Satz 3.14.0.1   Die Funktion % latex2html id marker 60681
$ f:]a,b[\to \mathbb{R} $ sei in $ ]a,b[ $ differenzierbar. Angenommen es gibt zwei Punkte $ x_{1},x_{2}\in ]a,b[ $ mit $ x_{1}<x_{2} $, so daß $ f^{\prime }(x_{1})>0 $ und $ f^{\prime }(x_{2})<0 $. Dann existiert ein Punkt $ x_{0}\in ]x_{1},x_{2}[ $ mit der Eigenschaft $ f^{\prime }(x_{0})=0 $.

Für stetige Ableitungen $ f^{\prime } $ ist diese Aussage eine sofortige Konsequenz des Satzes von Bolzano und Cauchy. Wir setzen an dieser Stelle die Stetigkeit von $ f^{\prime } $ aber nicht voraus und diese folgt auch nicht aus den Voraussetzungen des Satzes. Es bedarf also einer Modifikation des Beweises des Satzes 2.12.6.1.

$ \blacktriangleright $ Aus der Differenzierbarkeit von $ f $ in $ ]a,b[ $ folgt die Stetigkeit von $ f $ in $ ]a,b[ $ und damit auch die Stetigkeit von $ f $ auf $ [x_{1},x_{2}] $. Nach dem Satz von Weierstrass existiert damit ein $ x_{0}\in [x_{1},x_{2}] $ mit $ f(x_{0})=\max _{x_{0}\in [x_{1},x_{2}]}f(x) $. Gilt dabei $ x_{0}\in ]x_{1},x_{2}[ $, so folgt nach dem Satz von Fermat $ f'(x_{0})=0 $. Angenommen es gelte $ x_{0}=x_{1} $ oder $ x_{0}=x_{2} $. Wir untersuchen zunächst den ersten dieser beiden Fälle. Dann folgt

$\displaystyle h\varphi (f;h,x_{1})=f(x_{1}+h)-f(x_{1})\leq 0$$\displaystyle \quad \mbox {für}\quad x_{1}+h\in ]x_{1},x_{2}],$

und damit $ \varphi (f;h,x_{1})\leq 0 $ für $ x_{1}+h\in ]x_{1},x_{2}[. $ Letzteres impliziert wegen der Differenzierbarkeit von $ f $ im Punkt $ x_{1} $, dass

$\displaystyle f'(x_{1})=f'(x_{1}+0)=\lim _{h\to 0+0}\varphi (f;h,x_{1})\leq 0,$

was der Voraussetzung des Satzes widerspricht. Auf gleichem Wege führt $ x_{0}=x_{2} $ zum Widerspruch. $ \blacktriangleleft $

Letztere Aussage impliziert durch Anwendung auf $ \tilde{f}(x)=f(x)-\lambda $ sofort folgende Modifikation von Korollar 2.12.6.5, welche als Satz von Darboux bekannt ist:

Satz 3.14.0.2   Die Funktion % latex2html id marker 60752
$ f:]a,b[\to \mathbb{R} $ sei in $ ]a,b[ $ differenzierbar. Angenommen es gibt zwei Punkte $ x_{1},x_{2}\in ]a,b[ $ mit $ x_{1}<x_{2} $, so daß $ f^{\prime }(x_{1})>f^{\prime }(x_{2}) $. Dann existiert für jedes % latex2html id marker 60762
$ \lambda \in \mathbb{R} $ mit $ f^{\prime }(x_{2})<\lambda <f^{\prime }(x_{1}) $ ein Punkt $ x_{\lambda }\in ]x_{1},x_{2}[ $, so daß $ \lambda =f'(x_{\lambda }) $.

Korollar 3.14.0.3   Die Funktion % latex2html id marker 60777
$ f:]a,b[\to \mathbb{R} $ sei in $ ]a,b[ $ differenzierbar. Dann besitzt deren Ableitung $ f^{\prime } $ keine Unstetigkeiten der ersten Art (Sprungstellen).

$ \blacktriangleright $ Angenommen, für einen Punkt $ x_{0}\in ]a,b[ $ existieren die Grenzwerte $ f'(x_{0}-0) $ und $ f'(x_{0}+0) $, sind aber nicht gleich. O.B.d.A. sei $ f^{\prime }(x_{0}-0)>f^{\prime }(x_{0}+0) $ (anderenfalls betrachten wir die Funktion $ -f $ anstatt von $ f $). Wir wählen

$\displaystyle \varepsilon =\frac{1}{3}\left( f^{\prime }(x_{0}+0)-f^{\prime }(x_{0}-0)\right) >0$

und finden nach der Definition einseitiger Grenzwerte ein $ \delta >0 $, so dass
$\displaystyle f^{\prime }(x)\in U_{\varepsilon }(f^{\prime }(x_{0}-0))$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad$ $\displaystyle x\in U_{\delta }(x_{0})\cap ]a,x_{0}[,$  
$\displaystyle f^{\prime }(x)\in U_{\varepsilon }(f^{\prime }(x_{0}+0))$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad$ $\displaystyle x\in U_{\delta }(x_{0})\cap ]x_{0},b[.$  

Wählt man nun $ x_{1}\in ]\max \{a,x_{0}-\delta \},x_{0}[ $ , $ x_{2}\in ]x_{0},x_{0}+\delta [\cap ]x_{0},b[ $ sowie $ \lambda \in ]f^{\prime }(x_{0}+0)+\varepsilon ,f^{\prime }(x_{0}-0)-\varepsilon [\neq \emptyset $, so erhält man $ f(x_{1})>f(x_{2}) $ aber $ f^{\prime }(x)\neq \lambda $ für ein gewisses $ \lambda \in ]f^{\prime }(x_{2}),f^{\prime }(x_{1})[ $. Dies steht im Widerspruch zu Satz 3.14.0.3. $ \blacktriangleleft $

Beispiel 3.14.0.4   Der Satz von Darboux bedeutet keinesfalls, dass die Ableitung einer in allen Punkten eines Intervalles differenzierbaren Funktion stetig ist. Dazu betrachten wir die Funktion % latex2html id marker 60834
$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeben durch

$\displaystyle f(x):=x^2\sin x^{-1}$   für$\displaystyle \quad \ x\neq 0,
\qquad f(0):=0.$

Diese Funktion ist in allen Punkten % latex2html id marker 60839
$ x\in\mathbb{R}$ differenzierbar und es gilt

$\displaystyle f^\prime(x)=2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}$   für$\displaystyle \quad x\neq 0,\quad
f^\prime(0)=0.$

Damit besitzt $ f^\prime$ im Punkt $ x=0 $ eine Unstetigkeit zweiter Art.


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2003-06-05