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Der Schwerpunkt einer Kurve.

Für ein System von Massepunkten $ \{(x_{k},y_{k})\} $ mit den zugehörigen Massen $ m_{k} $sind die Koordinaten des Schwerpunktes durch

$\displaystyle X_{s}=\frac{\sum _{k}m_{k}x_{k}}{M},\quad Y_{s}=\frac{\sum _{k}m_{k}y_{k}}{M},\quad M=\sum _{k}m_{k}$

gegeben. Überträgt man dies auf eine homogene Kurve, so ist zu beachten, daß die Masse eines Kurvenstücks proportional zu seiner Länge sein soll. Dies motiviert folgende Definition des Schwerpunktes für eine in natürlicher Parametrisierung $ r(s)=(x(s),y(s)) $ gegebenen Jordanschen Kurve $ \Gamma $ der Klasse $ C^{1} $

$\displaystyle X_{s}:=\frac{\int _{0}^{L(\Gamma )}xds}{L(\Gamma )},\quad Y_{s}:=\frac{\int _{0}^{L(\Gamma )}yds}{L(\Gamma )}.$

Daraus erhält man unter anderem die Gleichung

$\displaystyle 2\pi Y_{s}\cdot L(\Gamma )=2\pi \int _{0}^{L(\Gamma )}y(s)ds.$ (4.10.4.1)

Es sei nun $ y(s)\geq 0 $. Dann steht auf der rechten Seite dieser Formel der Inhalt der Oberfläche, die man bei der Rotation der Kurve $ \Gamma $ um die $ x $-Achse erhält. Links steht das Produkt des Umfanges des Kreises, welchen der Schwerpunkt der Kurve bei dieser Rotation überstreicht und die Länge der Kurve. Damit beschreibt (4.10.4.1) die erste Guldinsche Regel:

Satz 4.10.4.1   Der Inhalt der Oberfläche, welche durch die Rotation einer die $ x $-Achse nicht durchschneidenten Jordanschen Kurve der Klasse $ C^{1} $ um die $ x $-Achse gebildet wird, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, welchen der Schwerpunkt der Kurve bei dieser Rotation überstreicht, mit der Länge der Kurve selbst.

Beispiel 4.10.4.2   Wir betrachten den Torus

$\displaystyle R=\left\{ (x,y,z)\vert\, x\in [-1,1]\wedge \left( \sqrt{y^{2}+z^{2}}-2\right) ^{2}+x^{2}=1\right\} ,$

welcher durch die Rotation des Kreises

$\displaystyle (y-2)^{2}+x^{2}=1$

um die $ x $-Achse erzeugt wird. Der Schwerpunkt der Kreislinie liegt natürlich im Mittelpunkt $ (0,2) $ des Kreises und die Länge der Kreiskurve beträgt $ 2\pi $. Bei der Rotation um die $ x $-Achse überstreicht der Schwerpunkt den Umfang $ 2\pi \cdot 2=4\pi $. Damit besitzt nach der ersten Guldinschen Regel dieser Torus den Oberflächeninhalt

$\displaystyle O(R)=4\pi \cdot 2\pi =8\pi ^{2}.$


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2003-06-05