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Transfinite Kardinalzahlen. Abzählbare Mengen.

Wir wenden uns nun der Beschreibung der unendlichen Kardinalzahlen zu. So ist z.B. zu klären, ob und wieviele transfinite Kardinalzahlen, d.h. verschiedene Typen der Unendlichkeit es gibt.

Oben wurde bereits eine bijektive Abbildung zwischen % latex2html id marker 46912
$ \mathbb{N} $ und % latex2html id marker 46914
$ \mathbb{N}\backslash \{1\} $ konstruiert, damit ist % latex2html id marker 46916
$ \mathbb{N} $ unendlich. Mit $ \aleph _{0}=$% latex2html id marker 46919
$ \mbox {card}(\mathbb{N}) $ bezeichnen wir die (transfinite) Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen.1.10

Definition 1.10.6.1   Eine Menge $ A $ heißt abzählbar unendlich genau dann wenn $ \mbox {card}(A)=\aleph _{0} $, d.h. wenn $ A $ und % latex2html id marker 46937
$ \mathbb{N} $ gleichmächtig sind.

Für eine abzählbare Menge $ A $ gibt es eine bijektive Abbildung zwischen % latex2html id marker 46944
$ \mathbb{N} $, d.h. $ A $ läßt sich als eine unendliche Liste

$\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}$

schreiben, durch fortfahrendes Abzählen werden alle Elemente von $ A $ erfaßt, allerdings bricht der Zählprozeß nicht ab.

Satz 1.10.6.2   Die Kardinalzahl $ \aleph _{0} $ ist das kleinste Element der Menge der transfiniten Kardinalzahlen, d.h. für jede transfinite Kardinalzahl $ \mbox {card}(E) $ gilt $ \aleph _{0}\leq$$ \mbox {card}(E) $.

$ \blacktriangleright $ Sei $ \mbox {card} $ $ (E) $ eine transfinite Kardinalzahl und $ E $ eine zugehörige Menge. Wähle $ a_{1}\in E $, $ a_{2}\in E\setminus \{a_{1}\} $, $ a_{3}\in E\setminus \{a_{1},a_{2}\} $, $ \dots $, $ a_{n}\in E\setminus \{a_{1},\ldots ,a_{n-1}\} $, usw. Dieser Prozeß kann nicht abbrechen, sonst gilt $ E=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\} $ und $ E $ wäre endlich. Daraus folgt

$\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}\ldots \}=A\subset E.$

Wegen $ \mbox {card}(A)=\aleph _{0} $ folgt damit $ \aleph _{0}\leq$$ \mbox {card}(E) $. $ \blacktriangleleft $

Aufgabe 1.10.6.3   Es sei $ E $ eine Menge mit $ \aleph _{0}\leq$$ \mbox {card}(E) $. Beweisen Sie unter Zurückführung auf die entsprechende Definition, daß $ E $ eine unendliche Menge ist.

Definition 1.10.6.4   Eine Menge $ A $ heißt höchstens abzählbar, falls

$\displaystyle \mbox {card}(A)\leq \aleph _{0},$

d.h. $ A $ ist endlich oder abzählbar.

Satz 1.10.6.5   Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar.

$ \blacktriangleright $ Die abzählbare Familie von Mengen läßt sich als $ A_{1},A_{2},A_{3},\dots $ auflisten und jede dieser abzählbaren Mengen enthält eine Liste von Elementen

% latex2html id marker 47040
$\displaystyle A_{k}=\{a^{(k)}_{1},a^{(k)}_{2},a^{(k)}_{3},\dots \},\quad k\in \mathbb{N}.$

Wir benutzen nun das rechteckige Schema
$\displaystyle A_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{a^{(1)}_{1},a^{(1)}_{2},a^{(1)}_{3},\dots \}$  
$\displaystyle A_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{a^{(2)}_{1},a^{(2)}_{2},a^{(2)}_{3},\dots \}$  
$\displaystyle A_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{a^{(3)}_{1},a^{(3)}_{2},a^{(3)}_{3},\dots \}$  
  $\displaystyle \vdots$    

und konstruieren die Liste

$\displaystyle a_{1}^{(1)},a^{(1)}_{2},a^{(2)}_{1},a_{3}^{(1)},a^{(2)}_{2},a_{1}^{(3)},\cdots $

Aus dieser Liste strechen wir Einträge, welche eventuell bereits links davon stehende Elemente der Liste duplizieren. Damit haben wir eine Abzählung von $ \cup _{k}A_{k} $ konstruiert, welche damit höchstens abzählbar ist. Da diese Vereinigung unendliche Teilmengen $ A_{k} $ enthält, ist diese selbst auch unendlich und damit abzählbar. $ \blacktriangleleft $

Aufgabe 1.10.6.6   Die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen höchstens abzählbarer Mengen ist höchstens abzählbar.


 

Aufgabe 1.10.6.7   Beweisen Sie, daß % latex2html id marker 47089
$ \mbox {card}(\mathbb{Q})=\aleph _{0} $.


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2003-06-05