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Die Betafunktion.

Für $ a,b>0 $ ist die Betafunktion gegeben durch die Formel

$\displaystyle B(a,b):=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx\, .$ (2.12.1.1)

Für $ a\geq 1 $ und $ b\geq 1 $ ist der Integrand eine beschränkte Funktion und das obige Integral existiert im eigentlichen Sinn als Riemann-Integral. Für $ 0<a<1 $ oder $ 0<b<1 $ handelt es sich bei (2.12.1.1) um ein konvergentes uneigentliches Integral. Tatsächlich, es gilt
$\displaystyle x^{a-1}(1-x)^{b-1}\leq 2^{b-1}x^{a-1}$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad$ $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{1}{2},$  
$\displaystyle x^{a-1}(1-x)^{b-1}\leq 2^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad$ $\displaystyle \frac{1}{2}\leq x\leq 1.$  

Die uneigentlichen Integrale

$\displaystyle \int _{0}^{1/2}x^{a-1}dx$$\displaystyle \quad \mbox {und}\quad \int _{1/2}^{1}(1-x)^{b-1}dx$

konvergieren für $ a,b>0 $ und damit konvergiert nach dem Vergleichskriterium auch (2.12.1.1).



2003-09-05