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Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.

Wir erinnern, daß % latex2html id marker 25691
$ C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d}) $ für die Menge der in $ ]a,b[ $ stetig differenzierbaren Funktionen steht, die sich zusammen mit ihrer Ableitung stetig auf $ [a,b] $ fortsetzen lassen. Wir betrachten deshalb diese Ableitungen als stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $ [a,b] $.

Satz 2.6.1.1   Wir betrachten eine Funktionenfolge
% latex2html id marker 25705
$ f_{n}\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d}) $, % latex2html id marker 25707
$ n\in \mathbb{N} $, so daß zum einen der Grenzwert

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$% latex2html id marker 25710
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad x\in [a,b]$

existiert und desweiteren der Grenzwert

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)=\varphi (x)$% latex2html id marker 25713
$\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b]$

angenommen wird. Dann gilt % latex2html id marker 25715
$ f\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d}) $ und

$\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left( \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right) =\lim _{n\to \infty }\frac{df_{n}(x)}{dx}=\varphi (x)$$\displaystyle \quad \mbox {für}\quad x\in [a,b].$

$ \blacktriangleright $ Die Funktionen $ f'_{n} $ sind stetig und besitzt nach Satz 4.6.3. des Skriptes zur Analysis I eine Stammfunktion, d.h.

$\displaystyle f_{n}(x)=f_{n}(a)+\int _{a}^{x}f'_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}.$

Geht man hier unter Anwendung von Satz 2.5.1.1 zum Grenzwert $ n\to \infty $ über, so gilt
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)+\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{x}f'_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}\notag$ (2.6.1.1)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(a)+\int _{a}^{x}\lim _{n\to \infty }f^{\prime }_{n}(\tilde{x})d\tilde{x}=f(a)+\int _{a}^{x}\varphi (\tilde{x})d\tilde{x}.$ (2.6.1.2)

Nach Satz 2.3.2.1 ist $ \varphi $ als gleichmäßiger Grenzwert der stetigen Funktionen $ f'_{n} $ selbst stetig und besitzt damit eine Stammfunktion, welche nach Formel (2.6.1.1) mit $ f $ übereinstimmt. Also gilt $ f^{\prime }(x)=\varphi (x) $ für $ x\in \, ]a,b[ $ und wegen der Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung auch in den Randpunkten des Intervalles. $ \blacktriangleleft $


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2003-09-05