Der Raum ℂn

2.7 Der Raum $ℂ^{n}$

Die Menge $ℂ^{n}$ ist gegeben durch das $n$ -fache kartesische Produkt

ℂ^{n} = \underset{n Faktoren}{\underset{︸}{ℂ \times \dots \times ℂ}} .

Elemente aus $ℂ^{n}$ sind Vektoren $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ mit $n$ komplexen Komponenten $x_{j} \in ℂ$ für $j = 1, \dots, n$ . Wir können dann die Operation der Addition $+ : ℂ^{n} \times ℂ^{n} \to ℂ^{n}$ zweier Vektoren $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℂ^{n}$ und $y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℂ^{n}$ definieren:

x + y = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}) .

Die Multiplikation $\cdot : ℂ \times ℂ^{n}$ eines Skalars¹⁰ $α \in ℂ$ mit einem Vektor $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℂ^{n}$ definiert man wie folgt

α x = (α x_{1}, \dots, α x_{n}) .

Damit werden diese Operationen auf die Addition und Multiplikation auf dem Körper $ℂ$ zurückgeführt.

Man überprüft leicht, dass die Menge $ℂ^{n}$ mit den beiden oben definierten Operationen folgende Strukturen besitzt:

  2.7.1  Die Struktur des komplexen linearen Vektorraumes.
  2.7.2  Die Hermitsche Struktur - das komplexe Skalarprodukt.
  2.7.3  Die Struktur des komplexen normierten Raumes.
  2.7.4  Ein Vergleich der Strukturen von

ℂ^{n}

und

ℝ^{2 n}

¹⁰Komplexe Zahlen (d.h. $1$ -Vektoren) nennt man in diesem Zusammenhang ebenfalls Skalare.

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2.7 Der Raum ℂn

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