1.4.1  Funktionen als Spezialfall von Relationen.

Eine Funktion $f$ zwischen $A$ und $B$ ist eine (nach)eindeutige Relation $R_f$ zwischen den Mengen $A$ und $B$ und man schreibt $f\left(a\right)=b$ falls $\left(a,b\right)\in R_f$.³ Desweiteren definiert man $$\begin{array}{rcll}\text{den Definitionsbereich}& & D\left(f\right):=Vb\left(R_f\right),& \\ \text{den Wertevorrat (Wertebereich)}& & N\left(f\right):=Nb\left(R_f\right).& \end{array}$$

Es seien $f$ und $g$ Funktionen zwischen $A$ und $B$. Dann gilt

Man nennt $f$ auch eine Funktion $$\begin{array}{rcll}\text{aus}A\text{in}B& \text{falls}& D\left(f\right)\subset A\wedge W\left(f\right)\subset B,& \\ \text{aus}A\text{auf }B& \text{falls}& D\left(f\right)\subset A\wedge W\left(f\right)=B,& \\ \text{von}A\text{in}B& \text{falls}& D\left(f\right)=A\wedge W\left(f\right)\subset B,& \\ \text{von}A\text{auf }B& \text{falls}& D\left(f\right)=A\wedge W\left(f\right)=B.& \end{array}$$

Die Bezeichnung

bedeutet, dass $f$ eine Funktion von $A$ in $B$ ist. Eine solche Funktion $f:A\to B$ heisst auch $$\begin{array}{rcll}\text{injektiv}& \text{falls}& R_f\text{voreindeutig ist},& \\ \text{surjektiv}& \text{falls}& W\left(f\right)=B,& \\ \text{bijektiv}& \text{falls}& f\text{injektiv und surjektiv ist.}& \end{array}$$

Es sei $f:A\to B$ eine bijektive Funktion. Dann ist damit eine inverse Funktion $f^{-1}:B\to A$ assoziiert, welche durch die inverse Relation $R_f^{-1}$ gegeben ist, d.h.

Für $f:A\to B$ sowie für gegebene $A_1\subset A$ und $B_1\subset B$ definiert man das Bild $f\left(A_1\right)$ und das Urbild $f^{-1}\left(B_1\right)$dieser Mengen wie folgt $$\begin{array}{rcll}f\left(A_1\right)& :=& \left\{b\in B|{\exists }_{a\in A_1}f\left(a\right)=b\right\},& \\ f^{-1}\left(B_1\right)& :=& \left\{a\in A|{\exists }_{b\in B_1}f\left(a\right)=b\right\}.& \end{array}$$

Damit ist das Urbild einer Menge selbst dann definiert, wenn die Funktion $f$ nicht injektiv ist und damit keine inverse Funktion $f^{-1}$ zu $f$ existiert.