Axiomensystem von Peano

Es gibt unterschiedliche äquivalente Möglichkeiten, die verschiedenen Zahlensysteme einzuführen. So kann man z.B. in einem Axiomensystem die gewünschten Eigenschaften postulieren. Für die natürlichen Zahlen

ℕ

spielt folgendes Axiomensystem eine besondere Rolle:

Definition 1.6.1. (Axiomensystem von Peano) Eine Menge $ℕ$ heißt Menge der natürlichen Zahlen, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

(P1) $1 \in ℕ$ . (Existenzaxiom: Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht leer.)
(P2) Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es genau eine natürliche Zahl $n^{'}$ , die wir Nachfolger von $n$ nennen (Existenz des Nachfolgers).
(P3) $1$ ist nicht Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl (Existenz von unendlich vielen natürlichen Zahlen).
(P4) Aus $n^{'} = m^{'}$ folgt stets $n = m$ (Eindeutigkeit des Vorgängers).
(P5) Besitzt $M \subset ℕ$ die beiden Eigenschaften $\begin{array}{rcl} (a) & 1 \in M, \\ (b) & \forall_{n \in M} (n^{'} \in M), \end{array}$
so gilt $M = ℕ$ (Prinzip der vollständigen Induktion).

Man bezeichnet die natürlichen Zahlen nun der Reihe nach durch

1

1^{'} = : 2

2^{'} = : 3

usw. Nach (P5) werden dabei alle natürlichen Zahlen erfasst.

Folgende Eigenschaften eines Axiomensystems sind für jede axiomatische Einführung von Strukturen wesentlich:

Vollständigkeit: Die angegebenen Axiome reichen zur vollständigen Charakterisierung (der Eigenschaften) des Systems aus.

Das Axiom (P5) erlaubt uns, mit Hilfe der Induktion zu definieren bzw. Sätze zu beweisen. Dabei wird zunächst im Induktionsanfang (IA) der Beweis für

n = 1

geführt bzw. die Definition für

n = 1

gegeben. Im Induktionsschritt (IS) wird dann vom Fall

n

ausgehend der Fall

n^{'}

bewiesen bzw. definiert

1.6.1 Axiomensystem von Peano