Beweis. Im Gegensatz zum Beweis von Satz 3.12.6 lassen sich die Funktionen $f$ und $g$ nicht stetig in den Punkt $a$ fortsetzen. Damit ist die Formel von Cauchy nicht direkt anwendbar. Wir wenden deshalb eine andere Strategie an.

Die Voraussetzung (3.50) bedeutet, dass

$${\forall }_{\epsilon >0}{\exists }_{\delta >0}{\forall }_{x\in U\left(a,\delta \right)\cap }\left|\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}-A\right|<\epsilon .$$

(3.52)

Wir betrachten nun zwei Punkte $x$ und $x_0$ mit $a<x<x_0<a+\delta$. Nach der Formel von Cauchy gilt

für ein geeignetes $c\in ]x,x_0\left[\subset \right]a,a+\delta [$. Aus (3.52) folgt deshalb

$${\forall }_{x,x_0\in }\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}-A\right|<\epsilon .$$

(3.53)

Wir halten im weiteren den Wert von $x_0$ fest und betrachten den Grenzfall $x\to 0$. Zunähst gilt $$\begin{array}{rcll}\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-A\right|& =& \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}+\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}-A\right)\right|& \\ & \le & \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}\right|+\epsilon .& \end{array}$$

Wir benutzen nun die Bezeichnung

und erhalten $$\begin{array}{rcll}{I}_{x_0}\left(x\right)& =& \frac{f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x_0\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x_0\right)g\left(x\right)}{g\left(x\right)\left(g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right)}& \\ & =& \frac{f\left(x_0\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)\left(g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right)}& \\ & =& \frac{g\left(x_0\right)\left(f\left(x_0\right)-f\left(x\right)\right)+f\left(x_0\right)\left(g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right)}{g\left(x\right)\left(g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right)}& \\ & =& -\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\cdot \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}+\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}.& \end{array}$$

Aus (3.53) folgt

und damit

Wegen $g\left(x\right)\to \infty$ für $x\to a$ folgt $I_{x_0}\left(x\right)\to 0$ für $x\to a$ und damit

für $a<x<a+\tilde{\delta }$ mit genügend kleinem $\tilde{\delta }>0$. Dies impliziert (3.51). □