Das Lebesgue-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion.

4.1.6 Das Lebesgue-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion.

Wir formulieren hier ein weiteres hinreichendes und notwendiges Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit. Für ein Intervall $I \subset ℝ$ bezeichne $| I |$ die Länge des Intervalls $I$ .

Definition 4.1.13. Wir sagen, dass eine Menge $E \subset ℝ$ das Lebesgue-Mass $0$ besitzt, genau dann wenn für jedes $ε > 0$ eine höchstens abzählbare Familie von Intervallen ${I_{k}^{ε}}_{k \in ℕ}$ existiert, so dass

E \subset ⋃_{k \in ℕ} I_{k}^{ε} und \forall_{n \in ℕ} \sum_{k = 1}^{N} | I_{k} | < ε .

Definition 4.1.14. Wir sagen, dass eine Aussageform $H$ fast überall auf $[a, b]$ gilt, genau dann wenn eine Menge $E \subset [a, b]$ mit dem Lebesgue-Mass $0$ existiert, so dass

\forall_{x \in [a, b] \ E} H (x)

wahr ist.

Wir geben den folgenden Satz von Lebesgue ohne Beweis an:

Theorem 4.1.15. Für eine Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ gilt $f \in R [a, b]$ genau dann, wenn $f$ beschränkt ist und wenn $f$ fast berall auf $[a, b]$ stetig ist.

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