Der Flacheninhalt ebener Figuren.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks sei gleich dem Produkt seiner Seitenlängen. Durch Halbierung an der Diagonale ist damit der Flächeninhalt rechtwinkliger Dreiecke bestimmt; durch Summe oder Differenz solcher Flächen an den Höhenlinien erhält man den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks. Ein beliebiges Vieleck kann immer in Dreiecke zerlegt werden. Wir können also davon ausgehen, das der Flächeninhalt

A (P)

eines Vieleckes

P

definiert ist.

Wir betrachten nun eine beschränkte Menge

X

ℝ^{2}

. Es sei

V_{X}^{in}

die Menge aller Vielecke

P^{'}

, welche in

X

enthalten sind:

P^{'} \subset X

. Gleichzeitig sei

V_{X}^{ext}

die Menge aller Vielecke

P^{''}

, welche

X

enthalten:

X \subset P^{''}

. Für beliebige

P^{'} \in V_{X}^{in}

und

P^{''} \in V_{X}^{ext}

gilt wegen

P^{'} \subset X \subset P^{''}

offensichtlich

Geht man hier zunächst auf der linken Seite zur kleinsten oberen Schranke über alle

P^{'} \in V_{X}^{in}

und danach auf der rechten Seite zur grössten unteren Schranke für alle

P^{''} \in V_{X}^{ext}

über, so erhält man

Für den Beweis der im folgenden Satz formulierten Additivität des Flächeninhaltes verweisen wir auf Fichtenholz Band 2. Er folgt im wesentlichen aus der analogen Eigenschaft der Flächeninhalte von Vielecken.

Wir formulieren nun ein hinreichendes Kriterium für die Quadrierbarkeit einer Menge

X

Theorem 4.10.4. Es sei $f \in R [a, b]$ eine nichtnegative Funktion und

X_{f} = {(x, y) | x \in [a, b] \land y \in [0, f (x)]} .

Dann ist $X_{f}$ quadrierbar und

A (X_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

Beweis. Für eine Zerlegung $δ = {x_{k}}_{k = 0}^{n}$ von $[a, b]$ setzen wir

m_{k} = inf_{x \in Δ_{k}} f (x), M_{k} = sup_{x \in Δ_{k}} f (x), Δ_{k} = [x_{k}, x_{k + 1}] .

Es sei ${\tilde{Δ}}_{k} : = [x_{k}, x_{k + 1} [$ für $k = 0, \dots, n - 2$ und ${\tilde{Δ}}_{n - 1} : = [x_{n - 1}, x_{n}]$ . Wir betrachten die Vielecke

P_{δ}^{'} = {(x, y) | y \in [0, m_{k}] für x \in {\tilde{Δ}}_{k}} \subset X_{f}

sowie

P_{δ}^{''} = {(x, y) | y \in [0, M_{k}] für x \in {\tilde{Δ}}_{k}} \supset X_{f} .

Die Flächeninhalte dieser Vielecke sind durch die Darboux-Summen

A (P_{δ}^{'}) = s (f, δ) = \sum_{k} m_{k} Δ x_{k} und A (P_{δ}^{''}) = S (f, δ) = \sum_{k} M_{k} Δ x_{k}

gegeben. Dabei gilt wegen $P_{δ}^{'} \in V_{X_{f}}^{in}$ und $P_{δ}^{''} \in V_{X_{f}}^{ext}$

s (f, δ) = A (P_{δ}^{'}) \leq A_{*} (X_{f}) \leq A^{*} (X_{f}) \leq A (P_{δ}^{''}) = S (f, δ) .

Da $f$ integrierbar ist, so konvergieren sowohl die oberen als auch die unteren Darboux-Summen gegen $J = \int_{a}^{b} f (x) d x$ für $λ (δ) \to 0$ . Daraus folgt

J \leq A_{*} (X_{f}) \leq A^{*} (X_{f}) \leq J

und damit $A (X) = A_{*} (X_{f}) = A^{*} (X_{f}) = J$ . □

Theorem 4.10.5. Es seien $(ρ, ϕ)$ die Polarkoordinaten in $ℝ^{2}$ . Die nichtnegative Funktion $f \in C ([α, β], ℝ)$ , $[α, β] \subset [0, 2 π [$ erzeuge die Menge

X = {(ρ, ϕ) | ϕ \in [α, β] \land ρ \in [0, f (ϕ)]} .

Dann ist $X$ quadrierbar und

A (X) = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} f^{2} (ϕ) d ϕ .

Aus der Additivität des Flächeninhaltes kann man nun schliessen, dass die Menge

welche durch zwei auf

[a, b]

integrierbare Funktionen

f_{1}

und

f_{2}

mit der Eigenschaft

f_{1} (x) \leq f_{2} (x)

für alle

x \in [a, b]

gegeben ist, den Flächeninhalt

besitzt. Verwendet man nun die Konvention des gerichteten Riemann-Integrals, so kann man diese Grösse folgendermassen umformen:

\begin{array}{rcl} A (X) & = & \int_{a}^{b} (f_{2} (x) - f_{1} (x)) d x & (4.76) \\ = & \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x + \int_{b}^{a} f_{1} (x) d x \\ = & - \oint_{\partial X} y d x . & (4.77) \end{array}

Letztere Schreibweise bedeutet, dass man den Wert der Ordinate

y

des Randes

\partial X

über die Verschiebung

d x

der Abszisse integriert, wobei die Randkurve in mathematisch negativer Richtung (im Uhrzeigersinn) durchlaufen wird. Die Integration über die Strecken

\bar{(b, f_{2} (b)), (b, f_{2} (b))}

sowie

\bar{(a, f_{1} (a)), (a, f_{2} (a))}

trägt dabei nicht zum Wert des Integrals bei, da sich hier die Abszisse nicht verändert

d x = 0

Insbesondere lässt sich Formel (4.77) auf Gebiete übertragen, deren Rand

\partial X

nicht mehr durch den Graphen einer Funktion

(x, f (x))

sondern allgemeiner durch eine geschlossene Jordansche Kurve

\partial X = Γ_{φ}

der Klasse

C^{1}

gegeben sind. Ein Vertauschen der Rolle von Ordinate und Abszisse führt dabei zu der Serie von Identitäten

Example 4.10.7. Wir berechnen den Flächeninhalt der Ellipse $X$ , welche durch die Kurve $\partial X = Γ_{φ}$ mit $φ (t) = (x (t), y (t))$ , $x (t) = a cos t$ , $y (t) = b sin t$ und $t \in [0, 2 π]$ eingeschlossen wird. Es gilt $\begin{array}{rcl} A (X) & = & - \oint y d x = - \int_{0}^{2 π} b sin t d (a cos t) \\ = & a b \int_{0}^{2 π} {sin}^{2} t d t = a b \int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos 2 t}{2} d t = π a b . \end{array}$

4.10.1 Der Flächeninhalt ebener Figuren.