Die topologische Struktur: Die Menge ℝ genugt dem Intervallschachtelungsaxiom (Vollstandigkeitsaxiom).

1.9.3 Die topologische Struktur: Die Menge $ℝ$ genügt dem Intervallschachtelungsaxiom (Vollständigkeitsaxiom).

Für $a_{n}, b_{n} \in ℝ$ sei

I_{n} = [a_{n}, b_{n}] = {x \in ℝ | a_{n} \leq x \leq b_{n}}, n \in ℕ .

Es gelte zudem

\forall_{n \in ℕ} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n} .

Daraus folgt $\cap_{n \in ℕ} I_{n} = \cap_{n \in ℕ} [a_{n}, b_{n}] \neq \emptyset$ , d.h. dieser Durchschnitt enthält zumindest eine reelle Zahl. Diese Eigenschaft, die sogenannte Vollständigkeit von $ℝ$ wird im weiteren Verlauf der Vorlesung bewiesen.

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1.9.3 Die topologische Struktur: Die Menge ℝ genügt dem Intervallschachtelungsaxiom (Vollständigkeitsaxiom).

1.9.3 Die topologische Struktur: Die Menge $ℝ$ genügt dem Intervallschachtelungsaxiom (Vollständigkeitsaxiom).