Transfinite Kardinalzahlen. uberabzahlbare Mengen.

Beweis. Wir stellen die reellen Zahlen $x \in [0, 1]$ als unendliche Dezimalbrüche $x = 0, α_{1} α_{2} α_{3} \dots$ dar, wobei $α_{k} \in {0, 1, \dots, 9}$ für $k \in ℕ$ und $1 = 0, 999 \dots$ Angenommen die Menge $[0, 1]$ ist abzählbar, d.h. es gibt eine Liste aller dieser Zahlen $\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 0, α_{1}^{(1)} α_{2}^{(1)} α_{3}^{(1)} α_{4}^{(1)} \dots \\ x_{2} & = & 0, α_{1}^{(2)} α_{2}^{(2)} α_{3}^{(2)} α_{4}^{(2)} \dots \\ x_{3} & = & 0, α_{1}^{(3)} α_{2}^{(3)} α_{3}^{(3)} α_{4}^{(3)} \dots \\ ⋮ \end{array}$

Wir betrachten $y = 0, β_{1} β_{2} \dots β_{n} \dots$ mit $β_{j} \in {0, 1, \dots, 8} \ α_{j}^{(j)}$ für $j \in ℕ$ . Dann ist $y$ eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0, 1]$ aber wegen $β_{j} \neq α_{j}^{(j)}$ kann $y$ damit nicht in der obigen Liste vorkommen. Dies steht im Widerspruch dazu, dass diese Liste alle genannten reellen Zahlen aus $[0, 1]$ umfasst. □

Wir bezeichnen mit

ℵ_{1} = card ([0, 1])

die Kardinalzahl der Menge

[0, 1]

. So wie

ℵ_{0}

die Mächtigkeit der abzählbaren Mengen charakterisiert, so spricht man davon , dass

ℵ_{1}

die Mächtigkeit des Kontinuums beschreibt. Man kann zeigen, dass

card (ℝ) = ℵ_{1}

und

gilt. Nichtrationale reelle Zahlen bezeichnet man auch als irrationale Zahlen. Die Menge der irrationalen Zahlen

ℝ \ ℚ

ist zu

ℝ

gleichmächtig

Example 1.10.23. Für eine gegebene Menge $E$ bezeichne $P (E)$ die Potenzmenge von $E$ , d.h. die Menge aller Teilmengen von $E$ . Desweiteren bezeichne

2^{card (E)} = card (P (E)) .

Für $E = {1, 2, 3}$ gilt¹¹

P (E) = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

und damit $2^{card (E)} = 2^{3} = 8$ . Dies erklärt auch die Wahl der Notation $2^{card (E)}$ .

Der folgende Satz zeigt, dass es unendlich viele verschiedene transfinite Kardinalzahlen gibt:

Beweis. Man kann klar eine Bijektion $x \leftrightarrow {x}$ zwischen $E$ und den einelementigen Teilmengen von $E$ konstruieren. Letztere bilden eine Teilmenge von $P (E)$ , woraus $card (E) \leq card (P (E))$ folgt. Es bleibt zu zeigen, dass nicht $card (E) = card (P (E))$ gilt, d.h. dass es keine Bijektion zwischen $E$ und allen Teilmengen $P (E)$ gibt. Angenommen es existiert solch eine Bijektion $ϕ : E \to P (E)$ . Argumente von $ϕ$ sind Elemente von $E$ , Werte von $ϕ$ sind Teilmengen von $E$ . Wir betrachten nun die Menge

F = {x \in E | x \notin ϕ (x)} \in P (E)

(1.38)

sowie das Element $f = ϕ^{- 1} (F) \in E$ und untersuchen, ob $f$ zu $F$ gehört oder nicht. Gilt $f \in F$ so ist nach (1.38) $f \notin ϕ (f) = F$ . Aus $f \notin F = ϕ (f)$ folgt jedoch ebenfalls wegen (1.38) $f \in F$ . Damit kann weder $f \in F$ noch $f \notin F$ gelten, was zum Widerspruch zur Existenz der Bijektion $ϕ : E \to P (E)$ führt. □

¹¹Beachte: Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

1.10.7 Transfinite Kardinalzahlen. überabzählbare Mengen.