Die Existenz von Grenzwerten beschrankter monotoner reeller Folgen: Eine Anwendung des Satzes von Cauchy.

Definition 2.2.13. Eine Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ reeller Zahlen heißt $\begin{array}{rcl} monoton wachsend ({x_{n}} ↑) & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{n \in ℕ} (x_{n} \leq x_{n + 1}), \\ streng monoton wachsend ({x_{n}} ↑ ↑) & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{n \in ℕ} (x_{n} < x_{n + 1}), \\ monoton fallend ({x_{n}} ↓) & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{n \in ℕ} (x_{n} \geq x_{n + 1}), \\ streng monoton fallend ({x_{n}} ↓ ↓) & \overset{def}{\Leftrightarrow} & \forall_{n \in ℕ} (x_{n} > x_{n + 1}) . \end{array}$

Theorem 2.2.14. Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine monoton wachsende, beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert diese Folge in $(ℝ, d_{| \cdot |})$ gegen einen Grenzwert $x \in ℝ$ .

Beweis. Wir zeigen, dass ${x_{n}}_{n \in ℕ} \in C F (ℝ)$ . Dann folgt aus dem Satz von Cauchy die Existenz eines Grenzwertes. Angenommen ${x_{n}}_{n \in ℕ} \notin C F (ℝ)$ . Dann gilt nach formaler Negation von (2.10)

\exists_{ε_{0} > 0} \forall_{N \in ℕ} \exists_{m, n \geq N} | x_{m} - x_{n} | \geq ε_{0} .

(2.17)

Wähle nun $N_{1} = 1$ . Dann gilt aufgrund der Monotonie und (2.17) $x_{m_{1}} \geq x_{n_{1}} + ε_{0} \geq x_{1} + ε_{0}$ für gewisse $m_{1} > n_{1} \geq 1$ . Wir setzen nun iterativ $N_{k} = max {m_{k - 1}, n_{k - 1}}$ und finden wegen (2.17) Folgenelemente

x_{m_{k}} \geq x_{n_{k}} + ε_{0} \geq x_{N_{k - 1}} + ε_{0} \geq x_{1} + (k - 1) ε_{0} .

Diese Folge ist aber wegen $ε > 0$ klar unbeschränkt, was zum Widerspruch führt. □

2.2.5 Die Existenz von Grenzwerten beschränkter monotoner reeller Folgen: Eine Anwendung des Satzes von Cauchy.