3.1.3  Eine geometrische Interpretation der Ableitung.

Für reellwertige Funktionen einer reeller Veränderlichen entspricht der Differenzenquotient $\phi \left(f;h,x\right)$ dem Anstieg der Sekante zwischen den Punkten $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ und $\left(x_0+h,f\left(x_0+h\right)\right)$. Existiert der Grenzwert $h\to 0$, so interpretiert man den Wert der Ableitung $f^{\prime }\left(x_0\right)$ als Anstieg der Tangente im Punkt $x_0$.

Für eine vektorwertige Funktion $f:\left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ geht im Grenzwert $h\to 0$ der mit dem Faktor $h^{-1}$ normierte Sekandenvektor zwischen den “Wegpunkten” $f\left(x_0\right)$ und $f\left(x_0+h\right)$ in Raum ${ℝ}^n$ in den “Geschwindigkeitsvektor” $f^{\prime }\left(x_0\right)\in {ℝ}^n$ über, der tangential zum Weg im Punkt $x_0$ liegt und dessen Länge der “Geschwindigkeit” von $f$ im Punkt $x_0$ entspricht.

Wir werden im Verlauf der Vorlesung unter anderem auch diese beiden Interpretationen weiterführend diskutieren.