Der Satz von Rolle.

Theorem 3.5.3. Die Funktion $f \in C ([a, b], ℝ)$ sei in $] a, b [$ differenzierbar und es gelte $f (a) = f (b)$ . Dann existiert ein Punkt $c \in] a, b [$ , so dass $f^{'} (c) = 0$ .

Beweis. Nach dem Satz von Weierstrass existieren $y_{+}, y_{-} \in [a, b]$ mit

f (y_{+}) = max_{x \in [a, b]} f (x), f (y_{-}) = min_{x \in [a, b]} f (x) .

Liegt nun einer der Punkte $y_{+}$ oder $y_{-}$ im Inneren des Intervalls $] a, b [$ , so verschwindet nach Satz 3.5.1 dort die Ableitung und der gesuchte Punkt $c$ ist gefunden. Dementgegen sei nun $y_{-} \in {a, b}$ und $y_{+} \in {a, b}$ . Da nach Voraussetzung $f (a) = f (b)$ , so erhält man

f (a) = f (b) = min_{x \in [a, b]} f (x) \leq f (x) \leq max_{x \in [a, b]} f (x) = f (a) = f (b)

und damit ist $f$ konstant. Damit verschwindet die Ableitung aber in jedem beliebigen inneren Punkt $c \in] a, b [$ . □

3.5.2 Der Satz von Rolle.