Konstante Funktionen.

Es sei

a, b \in ℝ

und

a < b

. Wir betrachten Funktionen

f : [a, b] \to K^{n}

K = {ℝ, ℂ}

Theorem 3.10.1. Es sei $f \in C ([a, b], K^{n})$ . Die Funktion $f$ ist konstant auf $[a, b]$ genau dann wenn $f$ in $] a, b [$ differenzierbar ist und

f^{'} (x) = 0, x \in] a, b [.

(3.44)

Beweis. Ist $f$ konstant, so ist $f$ klar differenzierbar und $f^{'} = 0 .$ Umgekehrt gelte (3.44). Für beliebige $x_{1}, x_{2} \in] a, b [$ , $x_{1} < x_{2}$ gilt nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung

∥ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∥ \leq sup_{x \in} x_{1}, x_{2} [∥ f^{'} (x) ∥ | x_{1} - x_{2} | = 0

und damit $f (x_{1}) = f (x_{2}) = const$ für alle $x_{1}, x_{2} \in] a, b [$ . In den Randpunkten $a$ und $b$ gilt wegen der Stetigkeit von $f$ ebenfalls

f (a) = lim_{x \to a} f (x) = const, f (b) = lim_{x \to b} f (x) = const .

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3.10.1 Konstante Funktionen.