Der Grenzwert rationaler Folgen.

Definition 1.7.3. Es sei ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ , $r_{n} \in ℚ$ , eine Folge rationaler Zahlen. Dann ist $a \in ℚ$ ein Grenzwert der Folge ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{\overset{ε \in ℚ}{ε > 0}} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{\overset{n \in ℕ}{n \geq N_{ε}}} d (a, r_{n}) = | a - r_{n} | < ε .

Man schreibt dann

a = lim_{n \to \infty} r_{n},

wobei diese Notation zwei Sachverhalte ausdrückt: Erstens konvergiert die Folge ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ in $ℚ$ , d.h. es gibt einen rationalen Grenzwert, und zweitens ist dieser gleich $a$ .

Example 1.7.4. Wir betrachten die Folge $r_{n} = \frac{n}{1 + n}$ für $n \in ℕ$ . Dann gilt $1 = lim_{n \to \infty} r_{n}$ , da bei beliebig gegebenem rationalem $ε > 0$ für

n > N_{ε} = max {[ε^{- 1}], 1}

gilt

d (1, r_{n}) = | 1 - r_{n} | = \frac{1 + n - n}{1 + n} = \frac{1}{1 + n} < \frac{1}{1 + N_{ε}} < ε .

(Hierbei ist $[q]$ die größte ganze Zahl $m$ mit $m \leq q$ .)

Die Folge $r_{n} = {(- 1)}^{n}$ konvergiert nicht. Wählt man $ε > 1 ∕ 2$ , so müsste ein Grenzwert $a$ gleichzeitig die Ungleichungen $1 ∕ 2 < a < 3 ∕ 2$ als auch $- 3 ∕ 2 < a < - 1 ∕ 2$ erfüllen, was unmöglich ist.

Theorem 1.7.5. Der Grenzwert einer in $ℚ$ konvergenten Folge ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ rationaler Zahlen ist eindeutig bestimmt, d.h.

(a^{'} = lim_{n \to \infty} r_{n}) \land (a^{″} = lim_{n \to \infty} r_{n}) \Rightarrow (a^{'} = a^{″}) .

Beweis. Es sei $a^{'} = lim_{n \to \infty} r_{n}$ und $a^{″} = lim_{n \to \infty} r_{n}$ mit $a^{'} \neq a^{″}$ . Aus letzterem folgt

ε = 3^{- 1} d (a^{'}, a^{″}) = 3^{- 1} | a^{'} - a^{″} | > 0 .

Für diese positive Zahl $ε$ gibt es wegen der Konvergenz zugehörige natürliche Zahlen $N_{ε}^{^{'}}$ und $N_{ε}^{^{″}}$ , so da

\forall_{n \geq N_{ε}^{^{'}}} | a^{'} - a_{n} | < ε, \forall_{n \geq N_{ε}^{^{″}}} | a^{″} - a_{n} | < ε .

Für $n \geq max {N_{ε}^{^{'}}, N_{ε}^{^{″}}}$ gelten beide Ungleichungen gleichzeitig, und damit nach (1.23) auch

| a^{'} - a^{″} | = | (a^{'} - a_{n}) + (a_{n} - a^{″}) | \leq | a^{'} - a_{n} | + | a^{″} - a_{n} | < 2 ε = \frac{2}{3} | a^{'} - a^{″} |

und damit $| a^{'} - a^{″} | < \frac{2}{3} | a^{'} - a^{″} |$ , also $| a^{'} - a^{″} | = 0$ . Dies steht im Widerspruch zur Gegenannahme $a^{'} \neq a^{″}$ . □

Theorem 1.7.6. Es seine ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${s_{n}}_{n \in ℕ}$ in $ℚ$ konvergente rationale Folgen, sowie

$a = lim_{n \to \infty} r_{n}$ und $b = lim_{n \to \infty} s_{n}$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} a + b & = & lim_{n \to \infty} (r_{n} + s_{n}), & (1.27) \\ a \cdot b & = & lim_{n \to \infty} (r_{n} \cdot s_{n}) . & (1.28) \end{array}$

Falls zudem $s_{n} \neq 0$ und $b \neq 0$ , so gilt auch

\frac{1}{b} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_{n}} .

(1.29)

Beweis. Wir beweisen (1.27). Aus der Konvergenz folgt für beliebiges $ε > 0$ die Existenz von $N_{ε ∕ 2}^{a}$ und $N_{ε ∕ 2}^{b}$ mit der Eigenschaft

\forall_{n \geq N_{ε ∕ 2}^{a}} | a - r_{n} | < \frac{ε}{2}, \forall_{n \geq N_{ε ∕ 2}^{b}} | b - s_{n} | < \frac{ε}{2} .

Also gelten für $n \geq max {N_{ε ∕ 2}^{a}, N_{ε ∕ 2}^{b}}$ beide Ungleichungen gleichzeitig, und damit auch nach der Dreiecksungleichung

| (a + b) - (r_{n} + s_{n}) | \leq | a - r_{n} | + | b - s_{n} | < ε .

□

Problem 1.7.7. Beweisen Sie (1.28)! Zeigen Sie dazu zunächst, dass es für jede konvergente Folge ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Konstante $C \in ℚ$ gibt mit der Eigenschaft

\forall_{n \in ℕ} | r_{n} | \leq C .

Problem 1.7.8. Beweisen Sie (1.29)! Zeigen Sie dazu zunächst, dass es für jede konvergente Folge ${s_{n}}_{n \in ℕ}$ mit $s_{n} \neq 0$ und $b = lim_{n \to \infty} s_{n}^{- 1} \neq 0$ eine Konstante $C \in ℚ$ gibt mit der Eigenschaft

\forall_{n \in ℕ} | s_{n}^{- 1} | \leq C .

1.7.3 Der Grenzwert rationaler Folgen.