Fundamentalfolgen rationaler Zahlen.

Definition 1.7.9. Eine Folge rationaler Zahlen ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ heißt Cauchy-Folge (CF) bzw. Fundamentalfolge ( ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ ) genau dann wenn

\forall_{\overset{ε \in ℚ}{ε > 0}} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{\overset{m, n \in ℕ}{m, n \geq N_{ε}}} d (r_{n}, r_{m}) = | r_{n} - r_{m} | < ε .

Theorem 1.7.10. Die Folge rationaler Zahlen ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ besitze einen Grenzwert $a \in ℚ$ . Dann ist ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge.

Beweis. Entsprechend der Definition der Konvergenz gilt $| r_{n} - a | < ε ∕ 2$ für alle $n \geq N_{ε ∕ 2}$ und damit auch

| r_{n} - r_{m} | = | (r_{n} - a) - (r_{m} - a) | \leq | r_{n} - a | + | r_{m} - a | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

für $m, n \geq N_{ε ∕ 2}$ □

Umgekehrt besitzt nicht jede rationale Fundamentalfolge einen rationalen Grenzwert!

Problem 1.7.11. (Babylonisches Wurzelziehen). Wir betrachten die rekursiv definierte Folge

r_{1} = 2, r_{n + 1} : = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + r_{n}^{2}}{r_{n}} .

Zeigen Sie, da ${r_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Fundamentalfolge ist. Zeigen Sie, da ein eventueller rationaler Grenzwert $a$ dieser Folge die Gleichung $a = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + a^{2}}{a}$ und damit auch $a^{2} = 2$ erfüllt. Schließlich zeigen Sie, da es keine rationale Zahl $a$ gibt, welche die Gleichung $a^{2} = 2$ erfüllt. Damit besitzt die Folge ${r_{n}}_{n \in ℕ} \in CF (ℚ)$ keinen rationalen Grenzwert.

1.7.4 Fundamentalfolgen rationaler Zahlen.