Einige wichtige Eigenschaften der Haufungspunkten sowie des Inneren, des Ausseren und des Randes einer Menge.

Aus der Definition der inneren und äusseren Punkte folgt sofort, dass

int (X) \subset X

als auch

ext (X) \subset X_{M}^{c}

. Da

X

und

X_{M}^{c}

disjunkt sind, so gilt

Da die Randpunkte von

X

das Komplement zu den inneren sowie den äusseren Punkte darstellen, so zerfällt der metrische Raum

M

bezüglich einer Teilmenge

X

in die paarweise disjunkte Zerlegung

Das folgende Lemma gibt eine alternative Darstellung des Inneren und des Äusseren einer Menge:

Beweis. Tatschlich, wegen $int (X) \subset X$ und $int (X) \cap \partial X = \emptyset$ folgt zunächst $int (X) \subset X \ \partial X$ . Da $ext (X) \subset X_{M}^{c}$ so gilt wegen der Zerlegung (2.43) damit $X \subset int (X) \cup \partial X$ , sowie wiederum wegen $int (X) \cap \partial X = \emptyset$ umgekehrt auch

X \ \partial X \subset (int (X) \cup \partial X) \ \partial X = int (X) .

□

Für

x_{0} \in ext (X)

folgt

U_{ε_{0}} (x_{0}) \subset X_{M}^{c}

für geeignetes

ε_{0} > 0

und damit

X \cap U_{ε} (x_{0}) = \emptyset

für alle

ε \in] 0, ε_{0}]

, was der Definition des Häufungspunktes für

x_{0}

widerspricht. Daraus folgt sofort die Eigenschaft

Beweis. Wir bemerken zuerst, dass aus (2.44) die Inklusion $X \subset int (X) \cup \partial X$ und damit auch $X \cup \partial X \subset int (X) \cup \partial X$ folgt. Wegen $int (X) \subset X$ erhält man sofort die umgekehrte Inklusion und damit $int (X) \cup \partial X = X \cup \partial X$ .

Weiterhin folgt aus (2.45) und der Disjunktheit der Zerlegung (2.43), dass $acc (X) \subset int (X) \cup \partial X$ . Da wie eben besprochen $X \subset int (X) \cup \partial X$ , so gilt $X \cup acc (X) \subset int (X) \cup \partial X$ . Umgekehrt sei nun $x_{0} \in int (X) \cup \partial X = {(ext (X))}_{M}^{c}$ . Damit ist $U_{ε} (x_{0}) \cap X \neq \emptyset$ für beliebiges $ε > 0$ . Falls $x_{0} \in X$ , so folgt trivialerweise $x_{0} \in X \cup acc (X)$ . Ist hingegen $x_{0} \notin X$ , so gilt $U_{ε} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}}) \neq \emptyset$ für beliebiges $ε > 0$ und damit $x_{0} \in acc (X) \subset X \cup acc (X)$ . Zusammenfassend ergibt sich $int (X) \cup \partial X \subset X \cup acc (X)$ , was den Beweis von (2.46) vervollständigt. □

2.9.2 Einige wichtige Eigenschaften der Häufungspunkten sowie des Inneren, des Äusseren und des Randes einer Menge.