Beliebige Familien offener und abgeschlossener Mengen.

Es sei

(M, d)

ein metrischer Raum und

A

eine Indexmenge beliebiger Mächtigkeit. Wir betrachten eine Familie

{F_{α}}_{α \in A}

von offenen Teilmengen

F_{α} \subset M

sowie eine Familie

{G_{α}}_{α \in A}

von abgeschlossenen Teilmengen

G_{α} \subset M

. Dann gilt

Theorem 2.9.24. Die Vereinigung $\cup_{α \in A} F_{α}$ einer beliebig grossen Familie offener Mengen ist eine offene Teilmenge von $M$ . Der Durchschnitt $\cap_{α \in A} G_{α}$ einer beliebig grossen Familie abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Teilmenge von $M$ .

Beweis. Es sei $x_{0}$ ein beliebiger Punkt aus $\cup_{a \in A} F_{α}$ . Dann gibt es ein $α_{0} \in A$ mit $x_{0} \in F_{α_{0}}$ . Da $F_{α_{0}}$ nach Voraussetzung offen ist, so existiert ein $ε_{0} > 0$ mit $U_{ε_{0}} (x_{0}) \subset F_{α_{0}}$ . Dann gilt offensichtlich $U_{ε_{0}} (x_{0}) \subset F_{α_{0}} \subset \cup_{α \in A} F_{α}$ und $x_{0}$ ist damit ebenfalls ein innerer Punkt der Vereinigung $\cup_{α \in A} F_{α}$ . Folglich ist $int (\cup_{α \in A} F_{α}) = \cup_{a \in A} F_{α}$ und $\cup_{a \in A} F_{α}$ ist offen, was den ersten Teil des Satzes beweist.

Nach dem de Morganschen Gesetz gilt ${(\cap_{α \in A} G_{α})}_{M}^{c} = \cup_{α \in A} {(G_{α})}_{M}^{c}$ . Da die Mengen $G_{α}$ nach Voraussetzung abgeschlossen sind, so sind alle Mengen ${(G_{α})}_{M}^{c}$ offen. Wie soeben bewiesen ist folglich die Vereinigung $\cup_{α \in A} {(G_{α})}_{M}^{c}$ offen und nach Satz 2.9.20 damit ${(\cup_{α \in A} {(G_{α})}_{M}^{c})}_{M}^{c} = \cap_{α \in A} G_{α}$ abgeschlossen. □

2.9.4 Beliebige Familien offener und abgeschlossener Mengen.