Reihen uber <mi >ℕ</mi> und uneigentlich Integrale auf <mrow ><mo class="MathClass-open">[</mo><mrow><mn>0</mn><mo class="MathClass-punc">,</mo> <mo class="MathClass-bin">+</mo><mi >∞</mi><mrow ><mo class="MathClass-open">[</mo><mrow>.

Es sei

a_{.} : ℕ \to K^{p}

K = {ℝ, ℂ}

p \in ℕ

, eine Folge von Gliedern

a_{k} \in K^{p}

k \in ℕ

. Wir nennen

DEfiNITION 1.1.1. Eine Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Folge ${S_{n}}_{n \in ℕ}$ der Partialsummen (1.1.1.1) konvergiert. Wir weisen dann dem Symbol $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ den entsprechenden Grenzwert

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} : = lim_{n \to \infty} S_{n} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

zu.

Desweiteren sei

f : [0, + \infty [\to K^{p}

eine auf jedem Intervall

[0, r]

r \in ℝ

r > 0

integrierbare Funtion. Es sei

DEfiNITION 1.1.2. Das uneigentliche Integral $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ konvergiert genau dann, wenn $I_{r} (f)$ einen Grenzwert für $y \to \infty$ besitzt. Wir weisen dann dem Symbol $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x$ den Wert

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x : = lim_{r \to + \infty} I_{r} (f) = lim_{r \to + \infty} \int_{0}^{r} f (x) d x

zu.

Diese Definitionen lassen sich leicht auf folgende Symbole übertragen

\begin{array}{rcl} \sum_{k = k_{0}}^{\infty} a_{k}, & \sum_{k = - \infty}^{k_{0}} a_{k}, & k_{0} \in ℤ, \\ \int_{y}^{\infty} f (x) d x, & \int_{- \infty}^{y} f (x) d x, & y \in ℝ . \end{array}

1.1.1. Reihen über ℕ und uneigentlich Integrale auf [0, +∞[.

1.1.1. Reihen über $ℕ$ und uneigentlich Integrale auf $[0, + \infty [$ .