Reihen uber <mi >ℤ</mi> und uneigentliche Integrale auf <mi >ℝ</mi>.

1.1.2. Reihen über $ℤ$ und uneigentliche Integrale auf $ℝ$ .

Es sei $a_{.} : ℤ \to K^{p}$ eine Folge von Gliedern $a_{k} \in K^{p}$ mit ganzzahligem Index $k \in ℤ$ .

DEfiNITION 1.1.3. Die Reihe $\sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k}$ nennt man genau dann konvergent, wenn für gewisses $k_{0} \in ℤ$ beide Reihen $\sum_{k = k_{0}}^{\infty} a_{k}$ und $\sum_{k = - \infty}^{k_{0} - 1} a_{k}$ konvergieren. Man setzt dann

\sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} : = \sum_{k = - \infty}^{k_{0} - 1} a_{k} + \sum_{k = k_{0}}^{\infty} a_{k} .

AUFGABE 1.1.4. Zeigen Sie, daß die Konvergenz und der Wert von $\sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k}$ unabhängig von der konkreten Wahl von $k_{0} \in ℤ$ sind!

Wir betrachten nun eine Funktion $f : ℝ \to K^{p}$ , welche auf jedem endlichen Intervall intergrierbar ist.

DEfiNITION 1.1.5. Das uneigentliche Integral $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ nennt man genau dann konvergent, wenn für gewisses $y \in ℝ$ beide uneigentlichen Integrale $\int_{- \infty}^{y} f (x) d x$ und $\int_{y}^{+ \infty} f (x) d x$ konvergieren. Man setzt dann

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x : = \int_{- \infty}^{y} f (x) d x + \int_{y}^{+ \infty} f (x) d x .

AUFGABE 1.1.6. Zeigen Sie, daß in dieser Definition Konvergenz und Wert des uneigentlichen Integrales $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ unabhängig von der Wahl von $y \in ℝ$ ist!

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1.1.2. Reihen über ℤ und uneigentliche Integrale auf ℝ.

1.1.2. Reihen über $ℤ$ und uneigentliche Integrale auf $ℝ$ .