BEISPIEL 1.1.7. Die geometrische Reihe. Es sei $q\in ℂ$. Die Reihe

$$\begin{array}{rcll}\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k& =& \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=0}^n{q}^k& \\ & =& \underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-q^{n+1}}{1-q},q\ne 1,& \end{array}$$

konvergiert für $\left|q\right|<1$ gegen den Grenzwert

und divergiert für $\left|q\right|\ge 1$. Für $q=1$ ist die Reihe ebenfalls divergent.

BEISPIEL 1.1.8. Wir betrachten die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$. Wegen

$$\begin{array}{rcll}\sum _{k=1}^{\infty }ln\left(1+\frac{1}{k}\right)& =& \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}ln\left(\frac{k+1}{k}\right)& \\ & & \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\left(ln\left(k+1\right)-lnk\right)& \end{array}$$

und der Eigenschaft einer sogenannten Teleskopsumme

$$\begin{array}{rcll}\sum _{k=1}^n\left(ln\left(k+1\right)-lnk\right)& =& ln\left(n+1\right)-lnn+lnn-ln\left(n-1\right)\pm \cdots -ln1& \\ & =& ln\left(n+1\right)-ln\left(1\right)& \end{array}$$

divergiert die untersuchte Reihe.

BEISPIEL 1.1.9. Das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{e}^{-x}dx$ konvergiert und besitzt den Wert $1$. Tatsächlich,

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{e}^{-x}dx& =& \underset{r\to \infty }{lim}{\int \; <!--nolimits-->}_0^r{e}^{-x}dx& \\ & =& \underset{t\to \infty }{lim}{\left.-e^{-x}\right|}_0^r=\underset{r\to \infty }{lim}\left(1-e^{-r}\right)=1.& \end{array}$$

BEISPIEL 1.1.10. Wir berechnen das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}$. Es gilt

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}& =& \underset{r_1\to -\infty }{lim}{\int \; <!--nolimits-->}_{r_1}^0\frac{dx}{1+x^2}+\underset{r_2\to +\infty }{lim}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{r_2}\frac{dx}{1+x^2}& \\ & =& \underset{r_1\to \infty }{lim}{\left.arctanx\right|}_{r_1}^0+\underset{r_2\to \infty }{lim}{\left.arctanx\right|}_0^{r_2}& \\ & =& -\left(-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{2}=\pi .& \end{array}$$