Uneigentliche Integrale auf endlichem Integrationsbereich.

Uneigentliche Integrale treten auch auf, wenn der Integrand

f

Singularitäten in einem Punkt besitzt. Dazu betrachten wir Funktionen

f :] a, b] \to K^{p}

, welche auf jedem Intervall

[a + ε, b]

ε > 0

, integrierbar sind.

AUFGABE 1.1.11. Zeigen Sie, daß im Fall $f \in R [a, b]$ gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x : = lim_{ε \to 0 +} \int_{a + ε}^{b} f (x) d x .

(1.1.4.1)

Ist

f

nicht auf dem gesamten Intervall

[a, b]

integrierbar, so zieht man die Identität (1.1.4.1) als Definition eines uneigentlichen Integrales heran:

Oft benutzt man auch einfach die Bezeichnung

\int_{a}^{b} f (x) d x

für diese uneigentlichen Integrale; man muß sich aber bewußt sein, daß es sich dabei für

f \notin R [a, b]

nicht um ein eigentliches Riemann-Integral handelt.

Besitzt die Funktion

f : [a, c [\cup] c, b] \to K^{p}

eine Singularität in einem Punkt

c \in] a, b [

, so kann man obige Definition wiefolgt modifizieren: Existieren die beiden uneigentlichen Integrale

Auch hier handelt es sich für

f \notin R [a, b]

nicht um ein eigentliches Riemann-Integral, obwohl die Bezeichnung dies suggeriert. Gilt hingegen

f \in R [a, b]

, so führt die obige Definition auf das übliche Riemann-Integral zurück.

BEISPIEL 1.1.12. Wir berechnen das uneigentliche Integral $\int_{- 1}^{+ 1} \frac{d x}{\sqrt{| x |}}$ . Es gilt

\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{| x |}} d x & = & lim_{ε_{1} \to 0 + 0} \int_{- 1}^{- ε_{1}} \frac{1}{\sqrt{- x}} d x + lim_{ε_{2} \to 0 + 0} \int_{ε_{2}}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x}} \\ = & lim_{ε_{1} \to 0 + 0} 2 {\sqrt{x}|}_{ε_{1}}^{1} + lim_{ε_{2} \to 0 + 0} 2 {\sqrt{x}|}_{ε_{2}}^{1} \\ = & 2 - \underset{= 0}{\underset{︸}{lim_{ε_{1} \to 0 + 0} 2 \sqrt{ε_{1}}}} - \underset{= 0}{\underset{︸}{lim_{ε_{2} \to 0 + 0} 2 \sqrt{ε_{2}}}} + 2 = 4 . \end{array}

Dabei ist es wichtig, dass beide Grenzwerte separat konvergieren, d.h. $ε_{1}$ und $ε_{2}$ streben unabhängig voneinander gegen Null. Dies ist im folgenden Beispiel nicht gegeben.

BEISPIEL 1.1.13. Das unbestimmte Integral $\int_{- 1}^{+ 1} \frac{d x}{x}$ divergiert.Tatsächlich,

\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x} & = & lim_{ε_{1} \to 0 + 0} \int_{- 1}^{- ε_{1}} \frac{d x}{x} + lim_{ε_{2} \to 0 + 0} \int_{ε_{2}}^{1} \frac{d x}{x} \\ = & lim_{ε_{1} \to 0 + 0} (ln ε_{1} - ln 1) + lim_{ε_{2} \to 0 + 0} (ln 1 - ln ε_{2}) \\ = & \underset{divergent}{\underset{︸}{lim_{ε_{1} \to 0 + 0} ln ε_{1}}} - \underset{divergent}{\underset{︸}{lim_{ε_{2} \to 0 + 0} ln ε_{2}}} . & (1.1.4.2) \end{array}

1.1.4. Uneigentliche Integrale auf endlichem Integrationsbereich.