Der Cauchysche Hauptwert.

Das uneigentliche Integral im letzten Beispiel divergiert, da die Grenzwerte für

ε_{1} \to 0

und

ε_{2} \to 0

separat nicht existieren Würde man hingegen

ε = ε_{1} = ε_{2}

setzten und beide Grenzwerte in (1.1.4.2) zu

ε \to 0 + 0

zusammenfassen, so konvergiert dieser Ausdruck gegen

0

, die beiden unendlichen Anteile löschen einander aus, wenn man sich von beisen Seiten mit gleicher Geschwindigkeit der Singularität nähert. Dies motiviert folgende Definition des Hauptwertes nach Cauchy:

DEfiNITION 1.1.14. Die Funktion $f : [a, c [\cup] c, b] \to K^{p}$ sei für beliebiges $ε > 0$ integrierbar auf $[a, c - ε]$ und $[c + ε, b]$ . Wir sagen, daß das uneigentliche Integral $v.p. \int_{a}^{b} f (x) d x$ im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes konvergiert, wenn der Grenzwert

v.p. \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{ε \to 0 + 0} (\int_{a}^{c - ε} f (x) d x + \int_{c + ε}^{b} f (x) d x)

existiert.

AUFGABE 1.1.15. Existiert das uneigentliche Integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , so existiert auch der Cauchysche Hauptwert $v.p. \int_{a}^{b} f (x) d x$ und

v.p. \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x .

BEISPIEL 1.1.16. Es gilt $v.p. \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x} = 0$ , da

v.p. \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x} = lim_{ε \to 0 + 0} (\int_{- 1}^{- ε} \frac{d x}{x} + \int_{ε}^{1} \frac{d x}{x}) = lim_{ε \to 0} (ln ε - ln ε) = 0 .

Wir betrachten nun Funktionen

f : ℝ \to K^{p}

, welche auf jedem beschränkten Intervall integrierbar sind.

DEfiNITION 1.1.17. Das uneigentliche Integral $v.p. \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ konvergiert im Sinne des Hauptwertes nach Cauchy, wenn der Grenzwert

v.p. \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x : = lim_{r \to + \infty} (\int_{- r}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{r} f (x) d x)

existiert.

AUFGABE 1.1.18. Konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ , so existiert auch $v.p. \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ und

v.p. \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x .

Finden Sie umgekehrt Beispiele für Funktionen, für welche $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ divergiert, aber $v.p. \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x$ existiert.

Jede Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

kann man auch als uneigentliches Integral

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

mit dem Integranden

verstehen. Offensichtlich konvergieren

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

und

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

gleichzeitig und nehmen dann ein und denselben Wert an, denn

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = lim_{n \to \infty} S_{n} = lim_{n \to \infty, n \in ℕ} \int_{0}^{n} f (x) d x = lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} f (x) d x = \int_{0}^{\infty} f (x) d x .

Diese Idee läßt sich direkt auf Reihen

\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} a_{k}

übertragen. Konvergiert das dabei entstehende Integral

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x

nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwerkes, so erhält man auch die Definition des Hauptwertes einer Reihe über

ℤ

Alle hier angeführten Definitionen lassen sich sofort auf Folgen mit Werten in allgemeinen normierten Räumen verallgemeinern.

1.1.5. Der Cauchysche Hauptwert.