Die Definition der Frechet-Ableitung.

3.3.1. Die Definition der Frechet-Ableitung.

Es seien $E$ und $F$ normierte Räume, $U \subset E$ sowie $x_{0} \in int (U)$ . Wir betrachten eine Funktion

f : U \to F .

Da $x_{0}$ ein innerer Punkt von $U$ ist, so gilt $x_{0} + h \in U$ für alle $h \in E$ mit $∥ h ∥_{E} < δ$ .

DEfiNITION 3.3.1. Der lineare stetige Operator $T_{x_{0}} \in (E, F)$ heißt Frechet-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ , genau dann wenn5

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + T_{x_{0}} h + o (∥ h ∥_{E}) für h \to 0 .

(3.3.1.1)

Wir benutzen dann die Bezeichnung $T = f^{'} (x_{0})$ .

Wir betonen, daß der Operator $T_{x_{0}} h$ für fixiertes $x_{0}$ linear in $h$ ist. Dabei kann die Abhängigkeit von $T_{x_{0}}$ von $x_{0}$ sehr kompliziert sein.

5Wir erinnern hier an die Definition des Landau-Symboles. Für eine Funktion $φ : U_{δ} (0) \subset E \to F$ , $U_{δ} (0) = {h \in E | ∥ h ∥_{E} < δ}$ , schreibt man $φ (h) = o (∥ h ∥_{E})$ für $h \to 0$ genau dann, wenn die Aussage

\forall_{ε > 0} \exists_{δ^{'} > 0} \forall_{h \in U_{δ^{'}} (0)} ∥ φ (h) ∥_{F} \leq ε ∥ h ∥_{E}

wahr ist.

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