Wichtige Eigenschaften der Frechet-Ableitung.

3.3.2. Wichtige Eigenschaften der Frechet-Ableitung.

SATZ 3.3.2. Ist die Funktion $f : U \to F$ im Punkt $x_{0} \in int (U)$ Frechet-differenzierbar, so ist $T_{x_{0}} = f^{'} (x_{0})$ eindeutig bestimmt.

$▸$ Angenommen, es gibt zwei Operatoren $T_{1}, T_{2} \in (E, F)$ mit

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) & = & f (x_{0}) + T_{1} h + o (∥ h ∥_{E}), h \to 0, \\ f (x_{0} + h) & = & f (x_{0}) + T_{2} h + o (∥ h ∥_{E}), h \to 0 . \end{array}

Dann folgt $T_{1} - T_{2} \in (E, F)$ und

0 = T_{1} h - T_{2} h + o (∥ h ∥_{E}), h \to 0,

daß heißt $(T_{1} - T_{2}) h = o (∥ h ∥_{E})$ für $h \to \infty$ . Damit existiert für jedes $ε > 0$ ein $δ^{'} = δ^{'} (ε) > 0$ , so daß

∥ (T_{1} - T_{2}) h ∥_{F} \leq ε ∥ h ∥_{E} für ∥ h ∥_{E} \leq δ^{'} .

Aufgrund der Homogenität der Norm und der Linearität von $T_{1} - T_{2}$ gilt diese Abschätzung auch für beliebige $h \in E$ , woraus

∥ T_{1} - T_{2} ∥_{} \leq ε

für beliebiges $ε > 0$ folgt. Damit ist $∥ T_{1} - T_{2} ∥_{} = 0$ . Aus den Axiomen der Norm von $∥ \cdot ∥_{}$ folgt

T_{1} - T_{2} = 0 \in (E, F), d.h. T_{1} = T_{2} .

$◂$

AUFGABE 3.3.3. Ist die Funktion $f : U \to F$ im Punkt $x_{0} \in int (U)$ Frechet-differenzierbar, so ist $f$ in diesem Punkt stetig.

AUFGABE 3.3.4. Es seien $f, g : U \to F$ zwei Funktionen, die im Punkt $x_{0} \in int (U)$ Frechet-differenzierbar sind. Zeigen Sie, daß dann die Abbildung $α f + β g : U \to F$ für beliebige $α, β \in K$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar ist und dabei

{(α f + β g)}^{'} (x_{0}) = α f^{'} (x_{0}) + β g^{'} (x_{0})

gilt.

SATZ 3.3.5. Die Funktionen $f : U \to F$ und $α : U \to K$ seien im Punkt $x_{0} \in int (U)$ Frechet-differenzierbar. Dann ist die Abbildung $α f : U \to F$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar und es gilt

{(α f)}^{'} (x_{0}) = α (x_{0}) f^{'} (x_{0}) + f (x_{0}) α^{'} (x_{0}) .

(3.3.2.1)

$▸$ Zunächst analysieren wir die Struktur des Ausdruckes (3.3.2.1). Da $α^{'} (x_{0}) \in (E, K)$ , so ist für jedes $h \in E$ der Ausdruck $α^{'} (x_{0}) h$ ein Element in $K$ . Also ist wegen $f (x_{0}) \in F$ der Ausdruck

f (x_{0}) α^{'} (x_{0}) h = f (x_{0}) (α^{'} (x_{0}) h)

als Produkt von $f (x_{0}) \in F$ mit dem Skalar $α^{'} (x_{0}) h \in K$ zu verstehen, dies ist ein Element in $F$ . Desweiteren gilt $f^{'} (x_{0}) \in (E, F)$ und damit $f^{'} (x_{0}) h \in F$ . Da $α (x_{0})$ Werte in $K$ annimmt, so ist

α (x_{0}) f^{'} (x_{0}) h = α (x_{0}) (f^{'} (x_{0}) h)

das Produkt des Skalars $α (x_{0})$ mit $f^{'} (x_{0}) h \in F$ , d.h. selbst ein Element in $F$ . Die Summe beider Ausdrücke

{(α f)}^{'} (x_{0}) h = α (x_{0}) f^{'} (x_{0}) h + f (x_{0}) α^{'} (x_{0}) h

(3.3.2.2)

ist demnach ein Element in $F$ . Es ist leicht zu sehen, daß (3.3.2.2) dabei für festes $x_{0}$ eine lineare Abbildungen von $E$ nach $F$ in der Variablen $h$ definiert. Da

\begin{array}{rcl} ∥ (α_{0} f^{'} (x_{0}) + f_{0} α^{'} (x_{0})) h ∥_{F} & \leq & ∥ α_{0} f^{'} (x_{0}) h ∥_{F} + ∥ f_{0} α^{'} (x_{0}) h ∥_{F} \\ \leq & | α_{0} | \cdot ∥ f^{'} (x_{0}) h ∥_{F} + ∥ f_{0} ∥_{F} | α^{'} (x_{0}) h | \\ \leq & | α_{0} | \cdot ∥ f^{'} (x_{0}) ∥_{(E, F)} ∥ h ∥_{E} + \\ + ∥ f_{0} ∥_{F} \cdot ∥ α^{'} (x_{0}) ∥_{(E, K)} ∥ h ∥_{E} \\ \leq & C ∥ h ∥_{E} \end{array}

mit $α_{0} = α (x_{0})$ , $f_{0} = f (x_{0})$ sowie

C = | α (x_{0}) | \cdot ∥ f^{'} (x_{0}) ∥_{(E, F)} + ∥ f (x_{0}) ∥_{F} \cdot ∥ α^{'} (x_{0}) ∥_{(E, K)},

so gilt zudem $α (x_{0}) f^{'} (x_{0}) + f (x_{0}) α^{'} (x_{0}) \in (E, F)$ .

Schreibt man nun

\begin{array}{rcl} α (x_{0} + h) & = & α_{0} + α^{'} (x_{0}) h + ψ (h), ψ (h) \overset{h \to 0}{=} o (∥ h ∥_{E}), \\ f (x_{0} + h) & = & f_{0} + f^{'} (x_{0}) h + ϕ (h), ϕ (h) \overset{h \to 0}{=} o (∥ h ∥_{E}), \end{array}

so folgt

\begin{array}{rcl} α (x_{0} + h) f (x_{0} + h) & = & α_{0} f_{0} + (α_{0} f^{'} (x_{0}) + f_{0} α^{'} (x_{0})) h \\ + α_{0} ϕ (h) + ψ (h) f_{0} + ϕ (h) α^{'} (x_{0}) h \\ + ψ (h) f^{'} (x_{0}) h + ψ (h) ϕ (h) . \end{array}

Man verifiziert leicht, daß6

α_{0} ϕ (h) + ψ (h) f_{0} + ϕ (h) α^{'} (x_{0}) h + ψ (h) f^{'} (x_{0}) h + ψ (h) ϕ (h) = o (∥ h ∥_{E})

für $h \to 0$ , was den Beweis abschließt. $◂$

SATZ 3.3.6. Es seien $E$ , $F$ und $G$ normierte Räume, $U \subset E$ und $V \subset F$ . Die Abbildung $f : U \to F$ sei im Punkt $x_{0} \in int (U)$ Frechet-differenzierbar und es gelte $f (x_{0}) = y_{0} \in int (V)$ . Die Abbildung $g : V \to G$ sei im Punkt $y_{0}$ Frechet-differenzierbar. Die Funktion $g \circ f$ ist dann im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar ist und es gilt

{(g \circ f)}^{'} (x_{0}) = g^{'} (f (x_{0})) f^{'} (x_{0}) .

(3.3.2.3)

$▸$ Wegen $y_{0} \in int (V)$ existiert ein $δ > 0$ mit $U_{δ} (y_{0}) \subset V$ . Nach Aufgabe 3.3.3 ist $f$ im Punkt $x_{0}$ stetig, d.h. es existiert ein $ε > 0$ mit $f (U_{ε} (x_{0})) \subset U_{δ} (y_{0}) \subset V$ . Damit ist $x_{0}$ ein innerer Punkt des Definitionsbereiches $Ũ = {x \in U | f (x) \in V}$ von $g \circ f$ .

Da $f^{'} (x_{0}) \in (E, F)$ und $g^{'} (f (x_{0})) \in (F, G)$ , so ist nach Aufgabe 3.2.18 $g^{'} (f (x_{0})) f^{'} (x_{0}) \in (E, G)$ . Aus

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) & = & f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + ϕ (h), ϕ (h) \overset{h \to 0}{=} o (∥ h ∥_{E}), \\ g (y_{0} + k) & = & g (y_{0}) + g^{'} (y_{0}) k + ψ (k), ψ (k) \overset{k \to 0}{=} o (∥ k ∥_{F}) \end{array}

folgt

\begin{array}{rcl} (g \circ f) (x_{0} + h) & = & g (f (x_{0}) + k) \\ = & g (f (x_{0})) + g^{'} (f (x_{0})) k + ψ (k) \end{array}

mit $k = k (h) = f^{'} (x_{0}) h + ϕ (h)$ . Es folgt wegen der Linearität von $f^{'} (x_{0})$ und der Abschätzung $ϕ (h) \overset{h \to 0}{=} o (∥ h ∥_{E})$ auch

∥ k ∥_{F} \leq C ∥ h ∥_{E} + \tilde{ε} ∥ h ∥_{E} = \tilde{C} ∥ h ∥_{E}

für genügend kleine $∥ h ∥_{E}$ und damit

∥ ψ (k) ∥_{G} \leq ε^{'} ∥ k ∥_{F} \leq ε^{'} \tilde{C} ∥ h ∥_{E}

für $∥ h ∥_{E} \leq δ^{'}$ . Dann ist $ψ (k) = o (∥ h ∥_{E})$ für $h \to 0$ und damit

(g \circ f) (x_{0} + h) = g (f (x_{0})) + g^{'} (f (x_{0})) f^{'} (x_{0}) h + g^{'} (f (x_{0})) ϕ (h) + o (∥ h ∥_{E}) .

Da weiterhin aufgrund der Linearität von $g^{'} (f (x_{0}))$ die Abschätzung

g^{'} (f (x_{0})) ϕ (h) = o (∥ h ∥_{E}) für h \to 0

gilt, so folgt (3.3.2.3). $◂$

6Vervollständigen Sie diese Abschätzung!

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