Beispiele.

3.3.3. Beispiele.

(I) Es sei $A$ eine lineare stetige Abbildung zwischen den normierten Räumen $E$ und $F$ . Dann gilt für beliebiges $x_{0} \in E$

A (x_{0} + h) = A x_{0} + A h

und damit $A^{'} (x_{0}) = A$ für beliebiges $x_{0} \in E$ . Die Frechet-Ableitung eines linearen stetigen Operators ist also dieser Operator selbst.

Ist insbesondere $E = ℝ^{n}$ und $F = ℝ^{m}$ , so läßt sich die Abbildung $A \in L (ℝ^{n}, ℝ^{m})$ durch eine Matrix

a = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

vom Typ $(m, n)$ darstellen. Gleiches gilt dann für die Ableitung $A^{'} (x_{0}) = A = a$ .

(II) Es sei $E = ℝ^{2}$ und $F = ℝ$ sowie

f : ℝ^{2} \to ℝ gegeben  durch f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} .

Für beliebiges $x_{0} = (x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}) \in ℝ^{2}$ und $h = (h_{1}, h_{2}) \in ℝ^{2}$ gilt

\begin{array}{rcl} f (x_{0} + h) & = & {(x_{1}^{(0)} + h_{1})}^{2} + {(x_{2}^{(0)} + h_{2})}^{2} + (x_{1}^{(0)} + h_{1}) \\ = & {(x_{1}^{(0)})}^{2} + {(x_{2}^{(0)})}^{2} + x_{1}^{(0)} \\ + 2 x_{1}^{(0)} h_{1} + 2 x_{2}^{(0)} h_{2} + h_{1} + h_{1}^{2} + h_{2}^{2} \\ = & f (x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}) + (\begin{matrix} x_{1}^{(0)} & 2 x_{2}^{(0)} + 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}) + o (∥ h ∥) . \end{array}

Damit gilt $f^{'} (x_{0}) = (2 x_{1}^{(0)} 2 x_{2}^{(0)} + 1)$ . Wir werden uns später im Einzelnen mit der Berechnung von Frechet-Ableitungen von Funktionen $f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ beschäftigen.

(III) Es sei $E = C^{1} ([a, b], ℝ)$ und $F = C ([a, b], ℝ)$ mit $a < b$ . Wir betrachten die Abbildung $K E \to F$ gegeben durch den Ausdruck

K y = y^{2} + 3 y + 2 {(y^{'})}^{2},

welcher eine Kurzschreibweise für

(K y) (x) = {(y (x))}^{2} + 3 y (x) + 2 {(y^{'} (x))}^{2}, x \in [a, b],

(3.3.3.1)

darstellt. Dabei verstehen wir $y^{'} (a)$ und $y^{'} (b)$ als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung in den Randpunkten des Intervalles.

Die Abbildung $K$ weist also jedem Punkt $y \in E$ , d.h. einer Funktion $y \in C^{1} ([a, b], ℝ)$ , einen Bildpunkt $K y \in F$ , d.h. eine Funktion $K y \in C ([a, b], ℝ)$ zu. Bei der Berechnung der Frechet-Ableitung von $K$ im Punkt $y_{0} \in E$ müssen wir die Funktion $y_{0} \in C^{1} ([a, b], ℝ)$ um ein Element $h \in E$ , d.h. eine Funktion $h \in C^{1} ([a, b], ℝ)$ verschieben. Dabei muß $h$ klein bezüglich der $C^{1}$ -Norm sein. Man erhält7

\begin{array}{rcl} K (y_{0} + h) & = & {(y_{0} + h)}^{2} + 3 (y_{0} + h) + 2 {({(y_{0} + h)}^{'})}^{2} \\ = & y_{0}^{2} + 2 y_{0} h + h^{2} + 3 y_{0} + 3 h + 2 {(y_{0}^{'} + h^{'})}^{2} \\ = & y_{0}^{2} + 3 y_{0} + 2 {(y_{0}^{'})}^{2} + (2 y_{0} + 3) h + 2 y_{0}^{'} h^{'} + h^{2} + 2 {(h^{'})}^{2} \\ = & K y_{0} + (2 y_{0} + 3 + 2 y_{0}^{'} \frac{d}{d x}) h + h^{2} + 2 {(h^{'})}^{2} . \end{array}

Wir stellen zunächst fest, daß

\begin{array}{rcl} ∥ h^{2} + 2 {(h^{'})}^{2} ∥_{F} & = & ∥ h^{2} + 2 {(h^{'})}^{2} ∥_{C ([a, b], ℝ)} = max_{x \in [a, b]} |h^{2} (x) + 2 {(h^{'} (x))}^{2}| \\ \leq & {(max_{x \in [a, b]} |h (x)|)}^{2} + 2 {(max_{x \in [a, b]} |h^{'} (x)|)}^{2} \\ \leq & 3 {(max_{x \in [a, b]} | h (x) | + max_{x \in [a, b]} | h^{'} (x) |)}^{2} = 3 ∥ h ∥_{C^{1} ([a, b], ℝ)}^{2} \end{array}

und damit $h^{2} + 2 {(h^{'})}^{2} = o (∥ h ∥_{E})$ für $h \to 0$ . Also gilt

K (y_{0} + h) = K y_{0} + T h + o (∥ h ∥_{E}), h \to 0,

(3.3.3.2)

wobei der Operator $T = 2 y_{0} + 3 + 2 y_{0}^{'} \frac{d}{d x}$ folgendermaßen wirkt

(T h) (x) = 2 y_{0} (x) h (x) + 3 h (x) + 2 y_{0}^{'} (x) h^{'} (x), x \in [a, b], h \in C^{1} ([a, b], ℝ) .

Dabei bildet er $E = C^{1} ([a, b], ℝ)$ nach $F = C ([a, b], ℝ)$ ab. Tatsächlich, aus $y_{0}, h \in C^{1} ([a, b], ℝ)$ folgt $y_{0}, h, y_{0}^{'}, h^{'} \in C ([a, b], ℝ)$ und damit $T h \in C ([a, b], ℝ)$ . Desweiteren ist $T$ offensichtlich linear im Argument $h$ . Es bleibt zu zeigen, daß $T$ stetig von $E = C^{1} ([a, b], ℝ)$ nach $F = C ([a, b], ℝ)$ wirkt. Dies folgt aus der Abschätzung

\begin{array}{rcl} ∥ T h ∥_{F} & = & ∥ T h ∥_{C ([a, b], ℝ)} = max_{x \in [a, b]} | 2 y_{0} (x) h (x) + 3 h (x) + 2 y_{0}^{'} (x) h^{'} (x) | \\ \leq & max_{x \in [a, b]} | (2 y_{0} (x) + 3) | \cdot | max_{x \in [a, b]} | h (x) | + \\ + 2 max_{x \in [a, b]} | y_{0}^{'} (x) | \cdot max_{x \in [a, b]} | h^{'} (x) | \\ \leq & ∥ 2 y_{0} + 3 ∥_{C ([a, b], ℝ)} ∥ h ∥_{C ([a, b], ℝ)} + ∥ 2 y_{0}^{'} ∥_{C ([a, b], ℝ)} ∥ h^{'} ∥_{C ([a, b], ℝ)} \\ \leq & C ∥ h ∥_{C^{1} ([a, b], ℝ)} = C ∥ h ∥_{E} \end{array}

mit $C = max \{∥ 2 y_{0} + 3 ∥_{C ([a, b], ℝ)}, ∥ 2 y_{0}^{'} ∥_{C ([a, b], ℝ)}\}$ . Aus der Darstellung (3.3.3.2) folgt nun, daß

T = 2 y_{0} + 3 + 2 y_{0}^{'} \frac{d}{d x} \in (C^{1} ([a, b], ℝ), C ([a, b], ℝ))

die Frechet-Ableitung der Abbildung $K$ im Punkt $y_{0}$ ist.

AUFGABE 3.3.7. Es sei $E = C^{1} ([a, b], ℝ)$ und $F = C ([a, b], ℝ)$ und man betrachte den Operator $d = \frac{d}{d x} : E \to F$ gegeben durch

(d y) (x) = y^{'} (x), x \in [a, b],

wobei $y^{'} (a)$ und $y^{'} (b)$ als rechts - und linksseitige Ableitungen in den Randpunkten zu verstehen sind. Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $d$ .

AUFGABE 3.3.8. Es sei $E = C ([a, b], ℝ)$ und $F = ℝ$ . Wir betrachten die Abbildung $J : E \to F$ gegeben durch

J y = \int_{a}^{b} y (x) d x .

Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $J$ .

Hinweis: Zeigen Sie in beiden Fällen, daß $d$ und $J$ lineare stetige Operatoren zwischen den jeweiligen Räumen $E$ und $F$ sind und verwenden Sie Beispiel (I).

7Vollziehen Sie diese Rechnung in der Schreibweise (3.3.3.1) nach!

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