Die Richtungsableitung.

Es seien

E

und

F

normierte Räume sowie

U \subset E

. Wir betrachten einen Punkt

x_{0} \in int (U)

und wählen einen Richtungsvektor

h \in E

. Dann gilt

x_{0} + t h \in U

für alle

t \in K

mit genügend kleinem Absolutbetrag

| t | \leq ε (h)

. Für eine Abbildung

f : U \to F

setzen wir

DEfiNITION 3.4.1. Existiert für gewisses $h \in E$ der Grenzwert

D f (x_{0}) [h] = \frac{d}{d t} φ_{h} (t) |_{t = 0} = lim_{t \to 0} \frac{f (x_{0} + t h) - f (x_{0})}{t},

so nennt man diesen die Richtungsableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ in die Richtung $h$ oder auch die Gateaux-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ in die Richtung $h$ .

Der Ausdruck $D f (x_{0}) [h]$ ist hier zunächst als ein einheitliches Symbol zu verstehen und nicht als ein Operator $D f (x_{0})$ wirkend auf $h .$ Es zeigt sich aber sofort, daß dieser Ausdruck, sofern er existiert, homogen in der Variablen $h$ ist:

SATZ. Die Funktion $f : U \to F$ besitze im Punkt $x_{0} \in int (U)$ für gewisses $h \in E$ die Richtungsableitung $D f (x_{0}) [h]$ . Dann existiert für alle $α \in K$ die Richtungsableitung $D f (x_{0}) [α h]$ und es gilt

D f (x_{0}) [α h] = α D f (x_{0}) [h], α \in K .

▸

Ersetzt man

t \in K

durch

s = α t \in K

, so erhält man direkt aus der Definition

3.4.1. Die Richtungsableitung.