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3.4.2. Zum Zusammenhang zwischen Frechet- und Richtungsableitung.

SATZ 3.4.2. Die Funktion f : U → F sei im Punkt x0 ∈int(U) Frechet-differenzierbar. Dann existiert im Punkt x0 für beliebiges h ∈ E die Richtungsableitung Df(x0)h und es gilt

Df(x0)h = f′(x 0)h,h ∈ E. (3.4.2.1)

▸ Nach der Definition der Frechet-Ableitung gilt f(x0 + h) = f(x0) + f′(x 0)h + o(∥h∥) für h → 0 und wegen ∥th∥ = |t|∥h∥ damit auch

f(x0 + th) = f(x0) + f′(x 0)th + o(t)

für beliebiges fixiertes h ∈ E und t → 0, t ∈ K. Daraus folgt sofort

Df(x0)[h] = lim t→0f(x0 + th) − f(x0) t = f′(x 0)h+lim t→0t−1o(t) = f′(x 0)h.

◂

Eine wichtige Anmerkung zu diesem Satz besteht darin, daß aus der Existenz der Richtungsableitungen Df(x0)[h] für alle h ∈ E im allgemeinen nicht die Existenz der Frechet-Ableitung f′(x 0)h folgt. Wir illuistrieren dies am folgenden Beispiel:

BEISPIEL 3.4.3. Es sei f : ℝ2 → ℝ die Funktion

f(x) = (x13 + x 23)1∕3,x = (x 1,x2) ∈ ℝ2,

wobei wir hier den reellen Zweig der dritten Wurzel auswählen, d.h. jener welcher die inverse Abbildung zur dritten Potenz auf ℝ darstellt, also x1∕3 = −|x|1∕3 für x < 0. Im Punkt x0 = 0 erhält man f(0) = 0. Für beliebiges h = (h1,h2) ∈ ℝ2 gilt

φh(t) = ((th1)3 + (th 2)3)1∕3 = t(h 13 + h 23)1∕3.

Daraus folgt

Df(0)[h] = lim t→0φh(t) − φh(0) t = (h13 + h 23)1∕3.

Diese Richtungsableitung existiert für alle h ∈ ℝ2, der Ausdruck Df(0)[h] ist aber offensichtlich nicht linear in h ∈ ℝ2. Wäre nun die Funktion f im Punkt x0 = 0 Frechet-differenzierbar, so ist dann nach (3.4.2.1) der Ausdruck Df(0)[ ⋅] = f′(x 0) unbedingt ein linearer Operator, was zum Widerspruch führt. Also kann die Frechet-Ableitung von f im Punkt x0 = 0 nicht existieren.

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