Die schwache Ableitung.

DEfiNITION 3.4.4. Angenommen für die Funktion $f : U \to F$ existiert im Punkt $x_{0} \in int (U)$ die Richtungsableitung $D f (x_{0}) [h]$ für alle $h \in E$ . Ist desweiteren $D f (x_{0}) [h]$ eine stetige lineare Abbildung im Argument $h,$ dann nennt man

f_{s}^{'} (x_{0}) = D f (x_{0}) [\cdot] \in (E, F)

die schwache Ableitung oder auch die Gateaux-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$ .

d.h. die Funktion

f

ist im Punkt

x_{0}

Gateaux-differenzierbar. Umgekehrt folgt aus der Existenz der Gateaux-Ableitung

f_{s}^{'} (x_{0})

nicht die Existenz der Frechet-Ableitung, wie folgendes Beispiel zeigt:

BEISPIEL 3.4.5. Wir betrachten die Funktion $f : ℝ^{2} \to ℝ$ gegeben durch

f (x) = | x_{1} x_{2} |^{1 ∕ 4} e^{- \frac{| x_{1} x_{2} |^{1 ∕ 2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}, x = (x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2}, x \neq 0 = (0, 0)

sowie $f (0) = 0$ . Es sei $x_{0} = 0 = (0, 0)$ . Für beliebiges $h = (h_{1}, h_{2}) \in ℝ^{2}$ gilt dann

φ_{h} (t) = f (t h) = t^{1 ∕ 2} | h_{1} h_{2} |^{1 ∕ 4} e^{- \frac{| h_{1} h_{2} |^{1 ∕ 2}}{t (h_{1}^{2} + h_{2}^{2})}}, t \in ℝ, t \neq 0, h \neq (0, 0),

bzw. $φ_{h} (t) = f (0) = 0$ für $t = 0$ oder $h = (0, 0)$ . Folglich gilt

D f (0) [h] = lim_{t \to 0} t^{- 1} φ_{h} (t) = 0, h \in E .

Damit ist

f_{s}^{'} (0) = D f (0) [\cdot] = O \in (ℝ^{2}, ℝ)

der Nulloperator von $E = ℝ^{2}$ nach $F = ℝ$ .

Ist die Funktion $f$ im Punkt $x_{0} = (0, 0)$ Frechet-differenzierbar, so gilt $f^{'} (0) = f_{s}^{'} (0) = O$ und damit

f (h) = f (0) + O h + o (∥ h ∥) = o (∥ h ∥), h \to 0 .

(3.4.3.1)

Wir betrachten nun die Folge $h^{(n)} = (h_{1}^{(n)}, h_{2}^{(n)})$ gegeben durch

h_{1}^{(n)} = n^{- 1} cos θ_{n}, h_{2}^{(n)} = n^{- 1} sin θ_{n}, n \in ℕ,

wobei die Werte $θ_{n} \in [0, π ∕ 4]$ durch die Bedingung

\frac{1}{n^{2}} = sin 2 θ_{n}, n \in ℕ,

gegeben sind. Dann gilt $∥ h^{(n)} ∥ = n^{- 1} \to 0$ sowie

\begin{array}{rcl} | h_{1}^{(n)} h_{2}^{(n)} |^{1 ∕ 2} & = & \sqrt{n^{- 2} | cos θ_{n} sin θ_{n} |} = n^{- 1} \sqrt{2^{- 1} sin 2 θ_{n}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{2} n^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({(h_{1}^{(n)})}^{2} + {(h_{2}^{(n)})}^{2}) \end{array}

und folglich

f (h^{(n)}) = | h_{1}^{(n)} h_{2}^{(n)} |^{1 ∕ 4} e^{- 1 ∕ \sqrt{2}} = c n^{- 1} = c ∥ h^{(n)} ∥, n \in ℕ,

mit $c = 2^{- 1 ∕ 4} e^{- 1 ∕ \sqrt{2}} \neq 0$ . Die letzte Gleichung widerspricht der asymptotischen Bedingung (3.4.3.1). Damit ist $f$ im Punkt $x_{0} = (0, 0)$ nicht Frechet-differenzierbar.

3.4.3. Die schwache Ableitung.