Das Lemma von Hahn und Banach.

3.5.1. Das Lemma von Hahn und Banach.

DEfiNITION 3.5.1. Es sei $F$ ein normierter Raum über $K$ . Eine Abblidung $l : F \to K$ nennt man ein stetiges lineares Funktional auf $F$ genau dann, wenn $l \in (F, K) .$

Wir benötigen im weiteren folgenden Hilfssatz, welcher als Lemma von Hahn und Banach bekannt ist:

LEMMA 3.5.2. Es sei $F$ ein normierter Raum. Dann existiert für jeden Punkt $y_{0} \in F$ ein stetiges lineares Funktional $l_{y_{0}} \in (F, K)$ mit den Eigenschaften

∥ l_{y_{0}} ∥_{(F, K)} = 1, l_{y_{0}} (y_{0}) = ∥ y_{0} ∥_{F} .

Für den Beweis des Lemmas von Hahn und Banach in dieser allgemeinen Formulierung verweisen wir auf den Kurs in Funktionalanalysis. Im Spezialfall $F = K^{d}$ läßt sich das Funktional explizit konstruieren: Für $y_{0} \neq 0$ setzt man

l_{y_{0}} (x) = ∥ y_{0} ∥_{K^{d}}^{- 1} {⟨x, y_{0}⟩}_{K^{d}} .

Tatsächlich, das Skalarprodukt $< \cdot, \cdot >_{K^{d}}$ ist linear im ersten Argument, es gilt

l_{y_{0}} (y_{0}) = ∥ y_{0} ∥_{K^{d}}^{- 1} {⟨y_{0}, y_{0}⟩}_{K^{d}} = ∥ y_{0} ∥_{K^{d}}

und aus der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung folgt

|l_{y_{0}} (x)| \leq ∥ y_{0} ∥_{K^{d}}^{- 1} ∥ x ∥_{K^{d}} ∥ y_{0} ∥_{K^{d}} = ∥ x ∥_{K^{d}}

und damit $∥ l_{y_{0}} ∥_{(K^{d}, K)} \leq 1$ . Die Identität $∥ l_{y_{0}} ∥_{(K^{d}, K)} = 1$ erhält man für $x = y_{0}$ . Im Fall $y_{0} = 0$ erfüllt jedes stetige lineare Funktional mit der Norm $∥ l ∥_{(K^{d}, K)} = 1$ die Bedingung des Satzes.

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