3.5.2. Der Hauptsatz der Differentialrechnung.

Es seien $E$ und $F$ normierte Räume. Für $a,b\in E$ bezeichne $\overline{ab}$ die Strecke

Wir betrachten eine Funktion $f:U\to F$, $U\subset F$ und wählen die Punkte $a,b\in E$ so, daß $\overline{ab}\in \text{int}\left(U\right)$.

SATZ 3.5.3. Die Funktion $f:U\to F$ sei in allen Punkten $x\in \overline{ab}\subset \text{int}\left(U\right)$ schwach differenzierbar. Dann gilt

$$\parallel f\left(b\right)-f\left(a\right){\parallel }_F\le \underset{x\in \overline{ab}}{sup}\parallel f_s^{\prime }\left(x\right){\parallel }_{\mathcal{<img\; src="cmsy8-4c.png"\; alt="L"\; class="8x-x-4c">}\left(E,F\right)}\parallel b-a{\parallel }_E.$$

(3.5.2.1)

Der Beweis von Satz 3.5.3 folgt im letzten Teil dieses Abschnittes.

KOROLLAR 3.5.4. Ist unter den Voraussetzungen von Satz 3.5.3 gilt

$$\parallel f\left(b\right)-f\left(a\right)-f_s^{\prime }\left(a\right)\left(b-a\right){\parallel }_F\le \underset{x\in \overline{ab}}{sup}\parallel f_s^{\prime }\left(x\right)-f_s^{\prime }\left(a\right){\parallel }_{\mathcal{<img\; src="cmsy8-4c.png"\; alt="L"\; class="8x-x-4c">}\left(E,F\right)}\parallel b-a{\parallel }_E.$$

(3.5.2.2)

$▸$ Es genügt Satz 3.5.3 auf die Funktion

anzuwenden. Dabei gilt

und (3.5.2.1) geht in (3.5.2.2) über. $◂$