3.5.3. Der Beweis von Satz 3.4.6.

$$
$▸$ Wir wählen

Dann gilt $\overline{x_0,x_0+h}=\overline{ab}\in U_{\epsilon }\left(x_0\right)$ für $\left|h\right|=|b-a|<\epsilon$. Nach Satz 3.5.3 folgt aus (3.5.2.1) die Ungleichung

$$\parallel f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)-f_s^{\prime }\left(x_0\right)h{\parallel }_F\le \underset{x\in \overline{ab}}{sup}\parallel f_s^{\prime }\left(x\right)-f_s^{\prime }\left(x_0\right){\parallel }_{\mathcal{<img\; src="cmsy8-4c.png"\; alt="L"\; class="8x-x-4c">}\left(E,F\right)}\cdot \parallel h{\parallel }_E.$$

Die Stetigkeit von $f_s^{\prime }\left(\cdot \right):U_{\epsilon }\left(x_0\right)\to \mathcal{<img\; src="cmsy10-c-4c.png"\; alt="L"\; class="10-120x-x-4c">}\left(E,F\right)$ im Punkt $x_0$ impliziert

und damit8

$$\underset{x\in \overline{x_0,x_0+h}}{sup}\parallel f_s^{\prime }\left(x\right)-f_s^{\prime }\left(x_0\right){\parallel }_{\mathcal{<img\; src="cmsy8-4c.png"\; alt="L"\; class="8x-x-4c">}\left(E,F\right)}\cdot \parallel h{\parallel }_E=o\left(\parallel h{\parallel }_E\right)\text{für}h\to 0.$$

Daraus folgt

Also ist die Funktion $f$ im Punkt $x_0$ Frechet-differenzierbar und es gilt $f^{\prime }\left(x_0\right)=f_s^{\prime }\left(x_0\right)$. $◂$