Der Beweis von Satz 3.5.3.

3.5.4. Der Beweis von Satz 3.5.3.

$▸$ Wir betrachten ein beliebiges lineares stetiges Funktional $l \in (F, K)$ . Für $t \in] - ε, 1 + ε [$ setzen wir

x (t) = a + t (b - a) .

Dabei gilt $x (t) \in \bar{a b}$ für $t \in [0, 1]$ sowie $x (t) \subset U$ für $t \in] - ε, 1 + ε [$ mit genügend kleinem $ε > 0$ . Wir betrachten die Funktion $ψ : [- ε, 1 + ε] \to K$ gegeben durch

ψ (t) = l f (x (t)) = l f (a + t h), h = b - a .

Schritt 1: Die Funktion ist für alle $t \in [0, 1]$ differenzierbar. Tatsächlich, aufgrund der Linearität des Funktionals $l$ folgt

\begin{array}{rcl} \frac{ψ (t + Δ t) - ψ (t)}{Δ t} & = & \frac{l f (a + (t + Δ t) h) - l f (a + t h)}{Δ t} \\ = & l (\frac{f (a^{'} + Δ t h) - f (a^{'})}{Δ t}), a^{'} = a + t h . \end{array}

Da $f$ für $t \in [0, 1]$ im Punkt $a^{'} \in \bar{a b}$ schwach differenzierbar ist, so existiert die Richtungsableitung

D f (a^{'}) [h] = lim_{Δ t \to 0} \frac{f (a^{'} + Δ t h) - f (a^{'})}{Δ t} = f_{s}^{'} (a^{'}) h .

Die Stetigkeit von $l$ erlaubt uns nun, den Grenzwert $lim_{Δ t \to 0}$ mit dem Funktional $l$ zu vertauschen, woraus die Konvergenz von

\begin{array}{rcl} l (f_{s}^{'} (a^{'}) h) & = & l (lim_{Δ t \to 0} \frac{f (a^{'} + Δ t h) - f (a^{'})}{Δ t}) \\ = & lim_{Δ t \to 0} l (\frac{f (a^{'} + Δ t h) - f (a^{'})}{Δ t}) \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{ψ (t + Δ t) - ψ (t)}{Δ t} = ψ^{'} (t) \end{array}

folgt.

Schritt 2: Wir wenden jetzt den Hauptsatz der Differentialrechnung einer Variablen auf die Funktion $ψ$ an, welcher die Ungleichung

| ψ (1) - ψ (0) | \leq sup_{t \in [0, 1]} | ψ^{'} (t) | \cdot | 1 - 0 |

liefert. Durch Einsetzen von $ψ (0) = l f (a)$ , $ψ (1) = l f (b)$ sowie $ψ^{'} (t) = f_{s}^{'} (a^{'}) h$ mit $h = b - a$ erhält man

\begin{array}{rcl} | l (f (b) - f (a)) | & = & | l f (b) - l f (a) | = | ψ (1) - ψ (0) | \\ \leq & sup_{t \in [0, 1]} | ψ^{'} (t) | = sup_{x \in \bar{a b}} | l (f_{s}^{'} (x) h) | \\ \leq & sup_{x \in \bar{a b}} ∥ l ∥_{(F, K)} ∥ f_{s}^{'} (x) (b - a) ∥_{F} \\ \leq & ∥ l ∥_{(F, K)} sup_{x \in \bar{a b}} ∥ f_{s}^{'} (x) ∥_{(E, F)} ∥ b - a ∥_{E} . & (3.5.4.1) \end{array}

Schritt 3: Wählt man nun nach dem Lemma von Hahn und Banach das Funktional $l = l_{y_{0}} \in (F, K)$ für $y_{0} = f (b) - f (a)$ , so daß $∥ l ∥_{(F, K)} = 1$ und

| l y_{0} | = | l (f (b) - f (a)) | = ∥ y_{0} ∥_{F} = ∥ f (b) - f (a) ∥_{F}

gilt, dann folgt aus (3.5.4.1) schließlich

∥ f (b) - f (a) ∥_{F} \leq sup_{x \in \bar{a b}} ∥ f_{s}^{'} (x) ∥_{(E, F)} ∥ b - a ∥_{E} .

$◂$
Anmerkung: Für $T \in L$ , $x \in E$ gilt IMMER

∥ T x ∥_{F} \leq ∥ T ∥_{(E, F)} ∥ x ∥_{E} .

Dies folgt auch direkt aus der Definition der Operatornorm.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]