SATZ 3.5.5. Es seien $E$ und $F$ normierte Räume. Zudem seien $U\subset E$ und $x_0\in \text{int}\left(U\right)$ mit $f:U\to F$ und $\alpha :U\to K$, wobei $f$ und $\alpha$ Frechet-differenzierbar im Punkt $x_0$ seien. Daraus folgt $\alpha f:U\to F$ mit

$$\left(\alpha f\right)\left(x\right)=\alpha \left(x\right)f\left(x\right)$$

ist in $x_0$ Frechet-differenzierbar UND

$${\left(\alpha f\right)}^{\prime }\left(x_0\right)=\alpha \left(x_0\right)f^{\prime }\left(x_0\right)+f\left(x_0\right){\alpha }^{\prime }\left(x_0\right)\mathrm{\text{ .}}$$

SATZ 3.5.6. Es seien $E$, $F$ und $G$ normierte Räume, $x_0\in \text{int}\left(U\right)$, $y_0\in \text{int}\left(V\right)$, $U\subset E$, $V\subset F$. Zudem seien $f:U\to F$, $g:V\to G$ und $y_0=f\left(x_0\right)$, wobei $f$ in $x_0$ Frechet-differenzierbar und $g$ in $y_0$ Frechet-differenzierbar seien. Daraus folgt

$${\left(g\circ g\right)}^{\prime }\left(x_0\right)=g^{\prime }\left(f\left(x_0\right)\right)\circ f^{\prime }\left(x_0\right)$$

$g^{\prime }\left(f\left(x_0\right)\right)\in \mathcal{<img\; src="cmsy10-c-4c.png"\; alt="L"\; class="10-120x-x-4c">}\left(F,G\right)$, $f^{\prime }\left(x_0\right)\in \mathcal{<img\; src="cmsy10-c-4c.png"\; alt="L"\; class="10-120x-x-4c">}\left(E,F\right)$, $g^{\prime }\left(f\left(x_0\right)\right)\circ f^{\prime }\left(x_0\right)\mathcal{<img\; src="cmsy10-c-4c.png"\; alt="L"\; class="10-120x-x-4c">}\left(E,G\right)$