Das Kummersche Kriterium.

Das Kummersche Kriterium ist eine weitere Verallgemeinerung des Raabschen Kriteriums, welches wir hier ohne Beweis anführen.

SATZ 1.4.18. Es sei ${c_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ eine monoton fallende Folge positiver Zahlen, so daß die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{- 1}$ divergiert. Für positive Zahlen $a_{n} > 0$ setzen wir

K_{n} : = c_{n} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - c_{n + 1}, n \in ℕ .

Gilt $K_{n} \geq δ$ für geeignetes $δ > 0$ und alle $n \geq n_{0}$ , dann konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ . Ist hingegen $K_{n} \leq 0$ für alle $n \geq n_{0}$ , so divergiert diese Reihe.

AUFGABE 1.4.19. Erläutern Sie, warum das Raabsche Kriterium ein Spezialfall des Kummerschen Kriteriums ist!

1.4.7. Das Kummersche Kriterium.