Wegen dem Fehlen einer universellen Vergleichsfunktion wird jeder auf dem Vergleichskriterium aufbauende Konvergenzsatz nur gewisse Klassen von Reihen anwendbar sein. Die von uns formuliertenKonvergenzsätze müssen daher gegebenenfalls verfeinert werden.
Ein Beispiel für eine solche Verfeinerung ist das Raabesche Kriterium.
SATZ 1.4.16. Es sei , , und wir setzen
Gilt für geeignetes und alle so ist die Reihe konvergent. Ist hingegen für alle , so ist die Reihe divergent.
Wir zeigen zunächst, daß
(1.4.6.1) |
für geeignetes . Dies folgt aus der Definition der Ableitung der Funktion im Punkt , denn
und damit wegen auch für . Letzteres impliziert (1.4.6.1).
Nach Voraussetzung des Satzes gilt
Zusammen mit (1.4.6.1) folgt daraus
Die Konvergenz von folgt nun aus dem Vergleichskriterium Satz 1.4.3 mit , da wie oben gezeigt die harmonische Reihe für konvergiert.