Das Vergleichskriterium führt auf die Frage, ob eine universelle Vergleichsfolge existiert, an Hand derer man über die Konvergenz jeder gegebenen Reihe nichtnegativer Summanden entscheiden kann. Der folgende Satz beantwortet diese Frage negativ:
SATZ 1.4.14. Für jede konvergente Reihe positiver Glieder kann man eine bestimmt gegen divergente Folge positiver Zahlen finden, so daß die Reihe ebenfalls konvergiert.
Für jede divergente Reihe positiver Glieder kann man eine gegen Null konvergente Folge positiver Zahlen finden, so daß die Reihe ebenfalls divergiert.
Wir beweisen die erste Aussage. Dazu setzen wir
Die Folge ist streng monoton fallend. Da die Reihe konvergiert, so gilt . Wir setzen
Dann folgt
und wegen konvergiert die Reihe . Gleichzeitig folgt
Ebenfalls wegen divergiert die Folge bestimmt gegen .