Wir haben bereits angemerkt, daß man Reihen als Spezialfälle von uneigentlichen Integralen auffassen kann. Dann ist es aber auch möglich, aus der Konvergenz gewisser Integrale auf die Konvergenz bestimmter Reihen zu schließen.
SATZ 1.4.8. Es sei für . Die Funktion sei monoton fallend und es gelte
Dann konvergiert das uneigentliche Integral genau dann, wenn auch die Reihe konvergiert. Dabei gilt
(1.4.4.1) |
Als monotone Funktion ist auf jedem endlichen Intervall integrierbar. Es sei
Dann gilt
und damit nach die charakteristische Funktion des Intervalles , . Wegen
so konvergieren nach Satz 1.4.1 und 1.4.2 die Reihe und das uneigentliche Integral gleichzeitig und es gilt (1.4.4.1).
Mit Hilfe der Ungleichung (1.4.4.1) kann man den numerischen Wert von Reihen durch den numerischen Wert von uneigentlichen Integralen abschätzen. Dabei ist es oft nützlich, eine endliche Anzahl von Summanden direkt aufzusummieren und dann (1.4.4.1) auf den verbleibenden Rest der Reihe anzuwenden.
BEISPIEL 1.4.9. Die harmonische Reihe konvergiert für und divergiert für , da daß uneigentliche Integral
für konvergiert und für divergiert.
AUFGABE 1.4.10. Schätzen Sie mit Hilfe von (1.4.4.1) die Summe bis auf eine Genauigkeit von ab!
BEISPIEL 1.4.11. Wir untersuchen die Reihe auf Konvergenz. Die Analysis der entsprechenden Integrals
zeigt, daß diese Reihe divergiert.
Betrachtet man hingegen das modifizierte Problem mit , so führt die entsprechende Rechnung auf
Letzterer Ausdruck konvergiert für und divergiert für Gleiches gilt damit auch für die Reihe .