Das Quotientenkriterium von d’Alambert.

1.4.3. Das Quotientenkriterium von d’Alambert.

SATZ 1.4.6. Es sei $a_{k}, b_{k} > 0$ für $k \geq k_{0}$ . Gilt

\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} \leq q für  gewisses q \in] 0, 1 [sowie  alle k \geq k_{0},

so konvergiert die Reihe $\sum_{k - 1}^{\infty} a_{k}$ . Gilt hingegen

\frac{b_{k + 1}}{b_{k}} \geq 1 für  alle k \geq k_{0},

so divergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k}$ .

$▸$ Die Aussagen folgen direkt aus Satz 1.4.3 im Vergleich mit der geometrischen Reihe $\sum_{k} q^{k},$ welche für $q \in] 0, 1 [$ konvergiert bzw. für $q = 1$ . $◂$

BEISPIEL 1.4.7. Wir betrachten die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!}$ . Für

a_{k} = \frac{1}{k!} folgt \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{1}{k + 1} \leq \frac{1}{2}, k \geq 1 .

Damit konvergiert $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!}$ . Die Konvergenz dieser Reihe haben wir natürlich bereits auf anderem Weg bewiesen, und es gilt

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} = e - 1 .

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