Das Wurzelkriterium von Cauchy.

1.4.2. Das Wurzelkriterium von Cauchy.

SATZ 1.4.4. Es gelte $a_{k} \geq 0$ für $k \geq k_{0}$ . Gilt $\sqrt[k]{a_{k}} \leq q$ für ein gewisses $q \in] 0, 1 [$ sowie alle $k \geq k_{0}$ , so konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ . Ist hingegen $\sqrt[k]{a_{k}} \geq 1$ für unendlich viele $k \geq k_{0}$ , so divergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ .

$▸$ Für den ersten Teil der Aussage wenden wir das Vergleichskriterium von Satz 1.4.1 mit der geometrischen Reihe $b_{k} = q^{k}$ für $q \in] 0, 1 [$ an. Der zweite Teil der Aussage gilt, da aus $\sqrt[k]{a_{k}} \geq 1$ auch $a_{k} \geq 1$ für unendlich viele $k \geq k_{0}$ folgt, was dem notwendigen Bedingung $a_{k} \to 0$ für $k \to \infty$ widerspricht (vgl. Satz 1.2.3). $◂$

BEISPIEL 1.4.5. Wir betrachten die Reihe $\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{{(ln k)}^{k}}$ . Für

a_{k} = \frac{1}{{(ln k)}^{k}} folgt a_{k}^{1 ∕ k} = \frac{1}{ln k} < \frac{1}{2} für k \geq k_{0} = e^{2} \approx 9,

und damit konvergiert die untersuchte Reihe nach dem Wurzelkriterium.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]