Das Cauchy-Kriterium.

1.2.1. Das Cauchy-Kriterium.

Aufgrund der Vollständigkeit von $ℝ^{p}$ bzw. $ℂ^{p}$ kann man das Cauchy-Kriterium für Reihen und uneigentliche Integrale modifizieren:

SATZ 1.2.1. Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn

\forall_{ε > 0} \exists_{N > 0} \forall_{m, n \geq N} ∥\sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}∥ < ε .

(1.2.1.1)

Das unbestimmte Integral $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ konvergiert genau dann, wenn

\forall_{ε > 0} \exists_{c > 0} \forall_{x^{'}, x^{″} \geq c} ∥\int_{x^{'}}^{x^{″}} f (x) d x∥ < ε .

(1.2.1.2)

$▸$ Wir beweisen (1.2.1.1) und wenden das Cauchy-Kriterium zur Konvergenz von Folgen auf die Folge der Partialsummen $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ an. Da $S_{n} - S_{m} = \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}$ , so gilt $∥S_{n} - S_{m}∥ = ∥\sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}∥$ , womit dieses Kriterium in (1.2.1.1) übergeht. $◂$

AUFGABE 1.2.2. Beweisen Sie den zweiten Teil (1.2.1.2) des Satzes.

Aus (1.2.1.1) folgt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe:

SATZ 1.2.3. Konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ , so gilt

lim_{k \to \infty} a_{k} = 0 .

$▸$ Die Aussage folgt aus (1.2.1.1) mit $n = m + 1$ . $◂$

AUFGABE 1.2.4. Zeigen Sie, daß analoge die Aussage für uneigentliche Integrale, d.h. aus der Konvergenz von $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ folgt der Grenzwert

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

nicht gilt.

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