Eine hinreichende Bedingung.

1.2.2. Eine hinreichende Bedingung.

Es sei $a : ℕ \to K^{p}$ eine Folge und die Funktion $f : [0, + \infty [\to K^{p}$ sei auf jedem Intervall $[0, c]$ , $c > 0$ , integrierbar. Folgender Satz ist nützlich für die praktische Untersuchung der Konvergenz von Reihen und uneigentlichen Integralen:

SATZ 1.2.5. Angenommen die Reihe $\sum_{k = k_{0}}^{\infty} a_{k}$ konvergiert für gewisses $k_{0} \in ℕ$ , so konvergiert auch die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ .

Konvergiert das uneigentliche Integral $\int_{c}^{+ \infty} f (x) d x$ für gewisses $c > 0$ , so konvergiert $\int_{0}^{\infty} f (x) d x$ .

$▸$ Wir beweisen den ersten Teil des Satzes. Dann gilt

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} & = & lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{k_{0} - 1} a_{k} + \sum_{k = k_{0}}^{n} a_{k}) \\ = & \sum_{k = 1}^{k_{0} - 1} a_{k} + lim_{n \to \infty} \sum_{k = k_{0}}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{k_{0} - 1} a_{k} + \sum_{k = k_{0}}^{\infty} a_{k} . \end{array}

$◂$

AUFGABE 1.2.6. Beweisen Sie den zweiten Teil dieser Aussage!

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