SATZ 1.2.7. Angenommen die uneigentlichen Integrale ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }fdx$ und ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }gdx$ konvergieren. Dann konvergiert auch das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }h\left(x\right)dx$ für $h\left(x\right)=\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)$; $\alpha ,\beta \in K$ und

$${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }\left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)dx=\alpha {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(x\right)dx+\beta {\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }g\left(x\right)dx.$$

(1.2.3.1)

Angenommen, die Reihen ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ und ${\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k$ konvergieren. Dann konvergiert die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{c}_k$ für $c_k=\alpha a_k+\beta b_k$; $\alpha ,\beta \in K$ und

$$\sum _{k=1}^{\infty }\left(\alpha a_k+\beta b_k\right)=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }{a}_k+\beta \sum _{k=1}^{\infty }{b}_k.$$

(1.2.3.2)

AUFGABE 1.2.8. Beweisen Sie (1.2.3.1)!