SATZ 1.4.1. Es gelte $0\le a_k\le C{b}_k$, für $k\ge k_0$, $k\in \mathbb{N}$ und geeignetes $C>0$. Divergiert die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$, so divergiert auch die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k$. Konvergiert andererseits die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k$, so konvergiert auch die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$ und es gilt

SATZ 1.4.2. Es seien $f,g:[0,+\infty [\to [0,+\infty [$ Funktionen, welche auf jedem endlichen Intervall $\left[0,c\right]$ integrierbar sind. Es gelte $f\left(x\right)\le Cg\left(x\right)$ für $x\ge x_0$, und geeignetes $C>0$. Divergiert das Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(x\right)dx$, so divergiert auch ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }g\left(x\right)dx$. Konvergiert andererseits das uneigentliche Integral ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }g\left(x\right)dx$, so konvergiert auch ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }f\left(x\right)dx$ und es gilt

$${\int \; <!--nolimits-->}_{x_0}^{\infty }f\left(x\right)dx\le C{\int \; <!--nolimits-->}_{x_0}^{\infty }g\left(x\right)dx.$$

(1.4.1.1)

SATZ 1.4.3. Es gelte $a_k>0$ und $b_k>0$ für $k\ge k_0$ sowie

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}\le \frac{b_{k+1}}{b_k}\text{für alle}k\ge k_0.$$

(1.4.1.2)

Konvergiert die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k$, so konvergiert auch ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$. Divergiert die Reihe ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$, so divergiert auch die Reihe ${\sum }_{k-1}^{\infty }{b}_k$.